关于“部分NP完全问题有多项式时间算法，部分没有”的判定咨询

结论：思路2正确，待判定陈述为假 #

核心依据：NP完全问题的本质性质 #

所有NP完全问题之间都存在多项式时间归约——即对于任意两个NP完全问题X和Y，存在一个多项式时间的转换方法，能把Y的实例转化为X的实例，从而用X的多项式算法解决Y。

对两种思路的分析 #

• 思路1的错误：
  思路1混淆了“陈述是否成立”和“P=NP是否成立”的逻辑关系。不管P=NP是否有定论，“部分NP完全问题有多项式算法、部分没有”这种情况都不可能存在：

  • 若P=NP，所有NP完全问题都属于P，不存在“部分没有”；
  • 若P≠NP，所有NP完全问题都不属于P，不存在“部分有”。
    因此这个陈述的真假不需要依赖P=NP的未知性，它本身就不可能为真。

• 思路2的正确性：
  思路2的逻辑完全符合NP完全问题的归约性质：假设存在一个有多项式算法的NP完全问题A，和一个没有多项式算法的NP完全问题B，那么根据归约性质，B可以多项式归约到A，这意味着B也能通过A的算法得到多项式时间解法，与“B没有多项式算法”的假设矛盾。因此“部分有、部分没有”的情况不可能存在，陈述为假。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Lsy