旋转机械启停阶段变幅变频力曲线不连续问题求解

力曲线不连续的核心原因是三个运行阶段的正弦相位未连续衔接。当前代码中，升频、稳频、降频阶段的正弦相位是独立推导计算的，导致在te（升频结束）和1.5*te（稳频结束）两个时间点，相位发生跳变，进而引发力的数值和斜率不连续，最终导致系统出现异常振动。

要解决这个问题，必须保证相位随时间连续累积——因为相位是频率对时间的积分，只要基于连续的频率变化计算相位，就能让力曲线自然连续。下面提供两种实现方式：

方式一：数值积分计算连续相位 #

通过梯形积分对频率函数进行积分，得到连续的相位累积，避免分阶段计算的相位跳变：

te = 300;     % 升频/降频时长（秒）
me = 10;      % 偏心质量
e = 0.5;      % 偏心距
omega_rated = 0.2;    % 额定频率

% 构造完整时间向量（从0到2.5*te，步长0.1）
t_total = 0:0.1:2.5*te;
N = numel(t_total);

% 定义连续的频率函数omega(t)
omega_t = zeros(1, N);
for i = 1:N
    t = t_total(i);
    if t <= te
        % 升频阶段：omega从0线性升到额定值
        omega_t(i) = (omega_rated / te) * t;
    elseif t <= 1.5*te
        % 稳频阶段：维持额定频率
        omega_t(i) = omega_rated;
    else
        % 降频阶段：omega从额定值线性降到0
        omega_t(i) = omega_rated * (1 - (t - 1.5*te)/te);
    end
end

% 用梯形积分计算连续累积相位
phi_t = zeros(1, N);
phi_t(1) = 0;  % t=0时相位为0
for i = 2:N
    dt = t_total(i) - t_total(i-1);
    phi_t(i) = phi_t(i-1) + 0.5*(omega_t(i) + omega_t(i-1))*dt;
end

% 计算连续的力向量
F_t = me * e * omega_t.^2 .* sin(phi_t);

% 绘图
figure(1)
plot(t_total, omega_t, 'LineWidth', 1.2)
xlabel('时间 (s)')
ylabel('力频率 (rad/s)')
grid on;

figure(2)
plot(t_total, F_t, 'LineWidth', 1.2)
xlabel('时间 (s)')
ylabel('施加的力')
grid on;

方式二：解析解计算连续相位 #

通过分阶段推导相位的解析表达式，保证衔接点的相位完全一致，实现绝对连续：

te = 300;     % 升频/降频时长（秒）
me = 10;      % 偏心质量
e = 0.5;      % 偏心距
omega_rated = 0.2;    % 额定频率

% 构造完整时间向量
t_total = 0:0.1:2.5*te;
N = numel(t_total);

% 初始化频率和相位向量
omega_t = zeros(1, N);
phi_t = zeros(1, N);

% 预计算阶段衔接点的相位，保证连续
phi_te = 0.5 * omega_rated * te;          % 升频结束时的相位
phi_15te = phi_te + omega_rated * 0.5*te; % 稳频结束时的相位

% 分阶段计算频率和相位
for i = 1:N
    t = t_total(i);
    if t <= te
        omega_t(i) = (omega_rated / te) * t;
        phi_t(i) = 0.5 * omega_rated / te * t^2;
    elseif t <= 1.5*te
        omega_t(i) = omega_rated;
        phi_t(i) = phi_te + omega_rated*(t - te);
    else
        delta_t = t - 1.5*te;
        omega_t(i) = omega_rated*(1 - delta_t/te);
        phi_t(i) = phi_15te + omega_rated*delta_t - 0.5*omega_rated/te * delta_t^2;
    end
end

% 计算连续的力
F_t = me * e * omega_t.^2 .* sin(phi_t);

% 绘图
figure(1)
plot(t_total, omega_t, 'LineWidth', 1.2)
xlabel('时间 (s)')
ylabel('力频率 (rad/s)')
grid on;

figure(2)
plot(t_total, F_t, 'LineWidth', 1.2)
xlabel('时间 (s)')
ylabel('施加的力')
grid on;

关键修改说明 #

• 两种方式都避免了分段拼接力向量，直接基于完整时间轴计算频率、相位和力
• 相位计算保证了在te和1.5*te两个衔接点的连续性，进而让力的数值和斜率完全连续
• 解析解方式精度更高，数值积分方式则更通用（适合复杂频率变化曲线）

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Katerina