求复数域内给定矩阵的特征值特征向量及SVD算法所需计算代码

• 特征值计算：求解特征方程 det(A - λI) = 0，方程的所有根（含重根）即为复数域内的全部特征值。
• 特征向量计算：对每个特征值λ，求解线性方程组 (A - λI)x = 0，方程组的非零解空间对应λ的特征子空间，子空间内所有非零向量都是该特征值对应的特征向量。

针对对称矩阵，QR迭代法是稳定且高效的特征值/特征向量计算方案，以下是可直接复用的实现代码：

import numpy as np

def symmetric_eigen(A):
    # 校验输入是否为对称矩阵
    if not np.allclose(A, A.T):
        raise ValueError("输入矩阵必须是对称矩阵")
    
    n = A.shape[0]
    # 累积正交变换矩阵，最终列向量为特征向量
    Q_accum = np.eye(n)
    current_A = np.copy(A)
    
    # QR迭代收敛到对角矩阵
    for _ in range(1000):
        Q, R = np.linalg.qr(current_A)
        current_A = R @ Q
        Q_accum = Q_accum @ Q
        
        # 判断收敛：非对角元素足够小
        off_diag_max = np.abs(current_A - np.diag(np.diag(current_A))).max()
        if off_diag_max < 1e-10:
            break
    
    # 提取特征值与特征向量，并按特征值降序排列
    eigenvalues = np.diag(current_A)
    eigenvectors = Q_accum
    sort_idx = eigenvalues.argsort()[::-1]
    
    return eigenvalues[sort_idx], eigenvectors[:, sort_idx]

# 测试示例
if __name__ == "__main__":
    # 构造对称测试矩阵
    test_A = np.array([[4, 1, 1],
                       [1, 3, 0],
                       [1, 0, 2]])
    vals, vecs = symmetric_eigen(test_A)
    print("特征值：", vals)
    print("特征向量：\n", vecs)
    
    # 验证结果正确性
    print("\n验证通过：", np.allclose(test_A @ vecs, vecs @ np.diag(vals)))

代码说明 #

• 利用对称矩阵QR迭代的收敛特性：迭代后矩阵会收敛为对角矩阵，对角元素即为特征值，累积的正交矩阵列向量对应特征向量。
• 加入输入校验，避免非对称矩阵导致的计算错误。
• 通过非对角元素的最大值判断收敛，平衡计算精度与效率。
• 最终对特征值/特征向量降序排列，适配SVD分解中奇异值从大到小的常规输出要求。

在实矩阵的SVD分解 A = UΣV^T 中，可通过对称矩阵的特征值计算推导核心分量：

• 计算对称矩阵 A^T A 的特征值，其平方根即为Σ的对角元素（奇异值）。
• A^T A 的特征向量构成V矩阵。
• U矩阵可通过 U = A V Σ^{-1} 计算（A满秩时有效）。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Danilo Giovannico