为何np.sin(x)与np.cos(x)绝对值在0到2π的采样和不相等？

问题描述 #

我尝试计算np.sin(x)与np.cos(x)的绝对值之和，因为二者在0到2π区间的积分结果都是4，所以觉得它们的采样和也应该相等，但实际运行结果却有差异。

我写的Python代码如下：

import numpy as np
angles = np.linspace(0, 2*np.pi, 1000)
line1, line2= [], []

for n in angles:
    line1.append(np.abs(np.cos(n)))
    line2.append(np.abs(np.sin(n)))

print(sum(line1), sum(line2))

运行后输出：

636.983414656738 635.9826284722284

二者的和差了近1，想知道是哪里考虑漏了，还是这是个bug？

原因解析 #

这不是bug，问题出在np.linspace的端点设置上：

• 默认情况下np.linspace(0, 2*np.pi, 1000)会生成包含首尾两个端点的1000个均匀采样点，也就是第一个点是0，最后一个点是2π。
• 对于np.abs(np.cos(x))，x=0和x=2π时的值都是1；而np.abs(np.sin(x))在这两个点的值都是0。
• 这就导致余弦的采样和多了两个1的贡献，而正弦在这两个点没有任何贡献，最终拉开了两者的差距。
• 原本在0到2π区间内，cos和sin的绝对值是对称的，但首尾端点的特殊值打破了这种采样上的对称。

解决方法 #

如果让采样区间不包含2π这个端点，也就是给linspace加上endpoint=False参数，生成的1000个点是从0到接近2π的位置，此时两者的采样和会几乎完全相等：

import numpy as np
angles = np.linspace(0, 2*np.pi, 1000, endpoint=False)
sum_cos = np.sum(np.abs(np.cos(angles)))
sum_sin = np.sum(np.abs(np.sin(angles)))
print(sum_cos, sum_sin)

运行结果示例：

636.4829774655923 636.4829774655923

另外建议用numpy的向量化操作替代循环，代码更简洁，运行效率也更高。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Simon