FunctionK与自然变换为何不同？求非等价实例及相关疑问

一、两者不等价的实例 #

1. 不属于自然变换的FunctionK #

自然变换的核心要求是满足交换图：对于任意函数f: A => B，必须有G(f) ∘ φ = φ ∘ F(f)（φ是变换，F、G是函子）。而FunctionK只是Scala中参数多态的类型构造器映射，只要是F[_] => G[_]的参数多态函数都可以是FunctionK，不强制满足自然性。

比如定义一个依赖具体类型的FunctionK：

import cats.FunctionK
import scala.reflect.ClassTag

val nonNaturalFK: FunctionK[List, Option] = new FunctionK[List, Option] {
  def apply[A](fa: List[A])(implicit ct: ClassTag[A]): Option[A] =
    if (ct == ClassTag.String) fa.headOption
    else None
}

这个FunctionK不满足自然性：取函数f: Int => String，当输入List(1)时：

• 左边Option(f) ∘ nonNaturalFK：nonNaturalFK(List(1))返回None，None.map(f)还是None；
• 右边nonNaturalFK ∘ List.map(f)：List(1).map(f)得到List("1")，nonNaturalFK(List("1"))返回Some("1")；
  两边结果完全不同，因此它不是自然变换。

2. 无法用FunctionK表示的自然变换 #

范畴论中的自然变换可以在反变函子之间存在，但Scala的FunctionK仅支持协变类型构造器（F[_]），无法直接表示反变函子间的自然变换。

比如反变函子F[A] = A => Boolean（谓词）和G[A] = A => Int，它们之间的自然变换可以是：

def nat[A](f: A => Boolean): A => Int = a => if (f(a)) 1 else 0

这个变换满足反变函子的自然性条件（对于函数g: B => A，G(g) ∘ nat = nat ∘ F(g)），但由于F和G是反变类型构造器（F[-_]），无法用FunctionK[F, G]来表示。

二、关于Functor实例的要求 #

范畴论中，自然变换的定义前提是F和G必须是函子（协变或反变均可）。对应到Cats的语境：

• 若要让FunctionK[F, G]成为自然变换，F和G必须拥有对应的函子实例：协变函子对应Functor，反变函子对应Contravariant。因为自然变换的交换图依赖于函子的map（协变）或contramap（反变）操作，没有这些实例就无法验证自然性。
• 维基百科提到的反变函子替换协变函子，只是自然变换的适用范围扩展，反变函子本身依然是函子的一种，并非不需要函子结构。

三、关于不纯FunctionK的疑问 #

确实，包含副作用、依赖外部状态的不纯FunctionK会打破范畴论的自然变换性质，因为范畴论中的态射默认是纯函数。不过Cats的FunctionK本身不强制纯性，这类不纯实例自然不属于自然变换。文档特意提及，可能是为了补充说明：即使是纯的FunctionK，也可能因为不满足自然性条件而不是自然变换（比如前面依赖具体类型的纯FunctionK）。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Joe