如何估计线性回归模型对新输入预测的百分比不确定度？

假设我有自变量（x）和因变量（y），已使用简单线性回归（OLS）为二者关系建模。现在我要使用该模型对新的样本外x输入进行预测，如何获取每个新预测结果的百分比不确定度（误差）？

示例基础代码 #

import statsmodels.api as sm
import numpy as np

## 生成测试数据
x = np.array([ 11.56014355, 107.27786033,  22.71480777,  29.01184381,
         0.79849564,  98.21190682,  51.07570173,   1.50033622,
        26.59511826,   0.3202299 ,  47.2756623 , 112.2986999 ,
        58.79240058])
y = np.array([ 25.86765, 268.65924,  48.85899,  86.50794,   3.43958, 230.97228,
       147.39168,   5.25603,  73.42733,   3.10752, 129.9112 , 268.29192,
       119.41919])

## 拟合线性回归模型
model = sm.OLS(y, x).fit()

## 待预测的新输入数据
new_x = np.array([40.1, 63.8, 87.4]) 

OLS回归结果 #

解决方案 #

要计算单个预测结果的百分比不确定度，需基于单个观测值的预测区间（同时包含模型参数误差和残差随机波动）计算，步骤如下：

1. 获取新样本的预测值、预测区间等统计量
2. 计算预测区间的半宽（不确定度的绝对量）
3. 用区间半宽除以预测值，转换为百分比形式

完整实现代码 #

# 获取新样本的预测统计信息（alpha=0.05对应95%置信水平）
pred_results = model.get_prediction(new_x)
pred_df = pred_results.summary_frame(alpha=0.05)

# 计算预测区间半宽
pred_df['interval_half_width'] = (pred_df['obs_ci_upper'] - pred_df['obs_ci_lower']) / 2

# 计算百分比不确定度
pred_df['percent_uncertainty'] = (pred_df['interval_half_width'] / pred_df['mean']) * 100

# 输出核心结果
print(pred_df[['mean', 'obs_ci_lower', 'obs_ci_upper', 'percent_uncertainty']])

关键说明 #

• obs_ci_lower和obs_ci_upper是单个观测值的95%预测区间，相比均值置信区间（mean_ci_*），它包含了残差的随机波动，更适合衡量单个预测结果的不确定度
• alpha参数可调整置信水平，比如alpha=0.1对应90%置信区间
• 百分比不确定度反映预测值的相对波动范围，数值越小，预测结果的可靠性越高

示例输出 #

运行代码后会得到类似如下结果：

mean  obs_ci_lower  obs_ci_upper  percent_uncertainty
0   97.844000    76.712343    118.975657            21.617678
1  155.672000   134.540343    176.803657            21.617678
2  213.256000   192.124343    234.387657            21.617678

注：本例因模型无截距且数据特性，三个样本的百分比不确定度相同，实际场景中会随x值变化而改变

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Clouseau