递推方程求解咨询：方程组中变量未消去时的处理方法

• 你的通解aₙ = A(-4)ⁿ + B(5)ⁿ是正确的，特征方程r² - r - 20 = 0的根为-4和5，符合二阶线性齐次递推的通解形式。
• 只得到一个方程-3A + 6B = 3，核心原因是你仅使用了一个初始条件，或者初始条件代入过程有误。二阶递推方程需要两个独立的初始条件（比如a₀和a₁、a₁和a₂这类组合），才能解出唯一的A和B。
• 举个实际计算例子：
  假设你通过a₁ - a₀ = 3得到了-3A +6B=3，若补充初始条件a₀=1，代入通解可得a₀ = A + B = 1，此时得到方程组：

  A + B = 1
  -3A + 6B = 3
  

  解这个方程组，可得出A=1/3，B=2/3，进而得到唯一特解。
• 若检查后发现初始条件代入错误，重新核对计算步骤：
  比如计算a₁时，a₁ = -4A + 5B；计算a₂时，a₂ = 16A +25B，再结合递推式a₂ = a₁ +20a₀交叉验证，确保符号和系数无错。
• 若确实只有一个初始条件，那么解会保留一个自由变量，可将方程-3A +6B=3化简为A=2B-1，代入通解得到：
  aₙ=(2B-1)(-4)ⁿ + B(5)ⁿ
  这里B为任意常数，这类含参数的解也是合理的，因为二阶递推需要两个约束条件才能确定唯一解。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Colby Smith