n²(log n)与n²哪个函数增长速度更快？

仅代入单个大数值（比如n=100）来判断函数增长速度是不可靠的——你看到的只是某个特定点的数值差异，没法反映函数在n趋近于无穷大时的本质增长趋势。

靠谱的判断方法： #

• 极限比值法（最严谨）
  计算n趋向无穷大时，两个函数的比值极限：

  lim(n→∞) [n²(log n) / n²] = lim(n→∞) log n = ∞
  

  这个结果说明，当n足够大时，n²(log n)和n²的比值会无限变大，也就意味着n²(log n)的增长速度确实比n²更快。如果极限是0，就是分母的函数增长更快；极限是常数的话，两个函数属于同阶增长。

• 增长量级的本质差异
  对数函数log n虽然增长得极慢，但它是持续递增的——只要n足够大，log n会一直变大，不会停在某个固定值。所以n²乘以这个持续变大的数，最终会把单纯的n²甩得越来越远：比如n=10000时，log 10000=4，此时n²(log n)是n²的4倍；n=1e6时，log n=6，差距变成6倍，n越大，这个倍数会持续增大。

• 别被单点数值误导
  举个反例：对比n²和n² + 10000，代入n=100时两者差了10000，但实际上它们的增长速度是完全一样的——极限比值是1，属于同阶增长。所以单点的数值差不能代表增长速度的本质。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Nicholas