求圆上点的位置，使经指定圆圆心的连线长度为给定值

上方半圆上的一点需与黑色半圆上的一点连线，要求该连线经过橙色圆的圆心且为垂直方向。沿上方圆移动该点时，连线长度会变化。请问能否计算箭头所示的上方半圆上的目标点位置，使绿色连线长度为给定值？

注：所有圆的圆心不一定在原点，已确保绿色连线与黑色圆相交，无需验证此条件。

可以计算出目标点的位置，具体推导过程如下：

1. 确定坐标关系：
   由于连线是垂直方向且经过橙色圆圆心，目标点（上方半圆上的点）的横坐标必然与橙色圆圆心的横坐标一致。设：

• 橙色圆圆心坐标为 (Cx, Cy)
• 上方半圆的圆心为 (Ox, Oy)，半径为 R
• 给定的绿色连线长度为 L
  则目标点坐标可表示为 (Cx, y)。

2. 结合上方半圆的几何约束：
   上方半圆的方程为：
   (x - Ox)² + (y - Oy)² = R²
   将目标点的横坐标 Cx 代入方程，可解出目标点的纵坐标 y（取对应上半圆的解）。

3. 匹配给定连线长度：
   垂直连线的长度为目标点与黑色半圆上对应点的纵坐标差。由于连线经过橙色圆心，黑色半圆上的对应点纵坐标为 2Cy - y，因此连线长度为 |y - (2Cy - y)| = |2(y - Cy)|。令其等于给定长度 L，可得：
   |2(y - Cy)| = L
   联立此式与上方半圆的方程，即可解出唯一符合条件的目标点坐标 (Cx, y)。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Frederik Steinmetz