RPG骰子高数值场景下概率计算代码异常问题排查

问题背景 #

我编写了calc_dados函数用于计算骰子投掷的成功概率，小数值场景下运行正常，但大数值场景下结果异常。通过pandas生成模拟硬币（2面骰子）的概率表时，发现结果与暴力测试的正确结果不符——例如4枚硬币至少出现1次正面的正确概率为93.75%，但函数输出为81.25%，请求协助排查问题原因。

原函数代码：

def calc_dados(f_sucessos = 1, faces = 6, n_dados = 1):

  p_max = ((f_sucessos/faces)**n_dados) #chance de todos

  fator = 1
  p_meio = 0

  for i in range(n_dados-1):
    p_meio += (((f_sucessos/faces)**(n_dados-fator) * ((faces-f_sucessos)/faces)**(n_dados-(n_dados-fator))) * n_dados)
    fator += 1

  p = p_max + p_meio
  return p*100

测试代码：

import pandas as pd

f_sucessos = 1    # 成功面数
faces = 2         # 骰子总面数
n_dados = 10      # 投掷骰子数量

suc_list = []
for i in range(0,n_dados): suc_list.append(f_sucessos)
fac_list = []
for i in range(0,n_dados): fac_list.append(faces)
cha_list = []
for i in range(0,n_dados): cha_list.append(calc_dados(f_sucessos, faces, i+1))

df = pd.DataFrame(
{
"n_dados" : range(1,n_dados+1),
"faces" : fac_list,
"sucessos" : suc_list,
"chance" : cha_list
 }
)
df

问题原因 #

函数核心逻辑存在两处关键错误：

• 概率项构造错误：循环中成功/失败次数的对应关系混乱，((faces-f_sucessos)/faces)**(n_dados-(n_dados-fator))简化后是失败次数为fator、成功次数为n_dados-fator，这和「至少1次成功」需要覆盖的1到n次成功的情况完全不匹配。
• 组合数错误：直接用n_dados作为每个概率项的系数，但实际上每种「k次成功、n-k次失败」的情况对应的组合数是从n个骰子中选k个的组合数C(n,k)，而非固定的n。

以n=4为例，原函数计算的是「4次成功」+「3次成功1次失败」*4 +「2次成功2次失败」*4，完全遗漏了「1次成功3次失败」的情况，结果自然偏差。

修正方案 #

方案1：补集法（推荐，高效不易错） #

计算「至少1次成功」的概率，最简便的方法是用1减去「全失败」的概率：

def calc_dados(f_sucessos=1, faces=6, n_dados=1):
    # 单次骰子失败的概率
    p_single_fail = (faces - f_sucessos) / faces
    # 所有骰子都失败的概率
    p_all_fail = p_single_fail ** n_dados
    # 至少1次成功的概率 = 1 - 全失败概率
    p_success = 1 - p_all_fail
    return p_success * 100

方案2：修正原逻辑（直接枚举所有成功情况） #

如果坚持要用原思路枚举所有成功情况，需要引入组合数计算（Python 3.10+支持math.comb）：

import math

def calc_dados(f_sucessos=1, faces=6, n_dados=1):
    p_single_success = f_sucessos / faces
    p_single_fail = 1 - p_single_success
    total_prob = 0
    # 遍历1次成功到n_dados次成功的所有情况
    for k in range(1, n_dados + 1):
        # 组合数：从n个骰子中选k个成功的情况数
        comb_count = math.comb(n_dados, k)
        # 当前情况的概率：组合数 * 成功概率^k * 失败概率^(n-k)
        case_prob = comb_count * (p_single_success ** k) * (p_single_fail ** (n_dados - k))
        total_prob += case_prob
    return total_prob * 100

验证结果 #

用n=4测试，两种修正后的函数都会返回93.75%，符合正确结果；测试n=10时，也能得到正确的「至少1次正面」概率99.90234375%。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Daniel Capua