如何用四元数实现多顶点绕X/Y/Z轴旋转？已完成欧拉角转四元数

Hey there! Since you're just getting started with quaternions, let's walk through this problem clearly—no confusing jargon, just straight-up steps and explanations.

首先，明确四元数旋转点的核心公式 #

要使用四元数旋转一个点，我们需要把点转换成纯四元数（实部W=0，虚部X/Y/Z对应点的坐标），然后用以下公式计算旋转后的四元数，最后取其虚部就是旋转后的点坐标：

p'_q = q * p_q * q⁻¹

其中：

• p_q：原始点转换的纯四元数
• q：旋转四元数（必须是单位四元数，你的q模长≈√(0.99²+0.07²)≈0.992，接近单位长度，没问题）
• q⁻¹：q的逆四元数，对于单位四元数，逆等于它的共轭四元数（即保持W不变，X/Y/Z取负）

步骤1：转换点为纯四元数 #

你的待旋转点p=(X:-0.35, Y:1.4, Z:0.35)，对应的纯四元数p_q为：
p_q = (W:0, X:-0.35, Y:1.4, Z:0.35)

步骤2：计算q的共轭四元数 #

你的旋转四元数q=(W:0.99, X:0.07, Y:0, Z:0)，其共轭q_conj（也就是逆）为：
q_conj = (W:0.99, X:-0.07, Y:0, Z:0)

步骤3：执行四元数乘法计算 #

四元数乘法的规则是（若q1=(w1,x1,y1,z1)，q2=(w2,x2,y2,z2)）：

w = w1*w2 - x1*x2 - y1*y2 - z1*z2
x = w1*x2 + x1*w2 + y1*z2 - z1*y2
y = w1*y2 - x1*z2 + y1*w2 + z1*x2
z = w1*z2 + x1*y2 - y1*x2 + z1*w2

第一步乘法：计算q * p_q #

代入q=(0.99,0.07,0,0)和p_q=(0,-0.35,1.4,0.35)：

• w = 0.990 - 0.07(-0.35) - 01.4 - 00.35 = 0.0245
• x = 0.99*(-0.35) + 0.070 + 00.35 - 0*1.4 = -0.3465
• y = 0.991.4 - 0.070.35 + 00 + 0(-0.35) = 1.3615
• z = 0.990.35 + 0.071.4 - 0*(-0.35) + 0*0 = 0.4445
  得到中间结果：q*p_q = (0.0245, -0.3465, 1.3615, 0.4445)

第二步乘法：计算(q*p_q) * q_conj #

代入中间结果和q_conj=(0.99,-0.07,0,0)：

• w = 0.02450.99 - (-0.3465)(-0.07) - 1.36150 - 0.44450 ≈ 0（符合纯四元数的要求，验证正确）
• x = 0.0245*(-0.07) + (-0.3465)0.99 + 1.36150 - 0.4445*0 ≈ -0.345
• y = 0.02450 - (-0.3465)0 + 1.36150.99 + 0.4445(-0.07) ≈ 1.317
• z = 0.02450 + (-0.3465)0 - 1.3615(-0.07) + 0.44450.99 ≈ 0.535

最终结果 #

旋转后的点p'坐标约为：
X≈-0.345, Y≈1.317, Z≈0.535

四元数各参数的含义 #

• W分量：对应cos(θ/2)，其中θ是绕旋转轴的旋转角度。你的q.W=0.99，对应θ/2≈8.59°，θ≈17.18°，和你给出的旋转角度一致。
• X/Y/Z分量：对应sin(θ/2)*u_x, sin(θ/2)*u_y, sin(θ/2)*u_z，其中(u_x,u_y,u_z)是旋转轴的单位向量。你的q中Y=0、Z=0，说明旋转轴是X轴（单位向量(1,0,0)），X分量0.07就是sin(θ/2)的值。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Albert4224