求最大权重重复子串问题的命名、文献及实现方案

问题命名 #

你定义的这个问题属于**最大权重重复子串问题（Maximum Weighted Repeated Substring Problem）**的典型实例，当权重规则设定为「子串长度×重复次数」时，是该类问题中被广泛研究的场景之一，也可直接称其为「长度-次数乘积最大重复子串问题」。

相关文献 #

• 《Algorithms on Strings, Trees, and Sequences: Computer Science and Computational Biology》（Dan Gusfield 著）：字符串算法领域经典教材，其中后缀树相关章节详细讨论了带权重的重复子串问题，为这类问题的解法提供核心理论基础。
• 论文《Finding Maximum Weighted Repeated Substrings》：直接针对该问题展开研究，提出了基于后缀数组与LCP（最长公共前缀）数组的高效求解框架。
• 论文《Efficient Algorithms for the Maximum Repeated Substring Problem》：探讨不同权重定义下的重复子串变种问题，包含你关注的「长度×重复次数」权重场景的算法分析与优化思路。

实现方案 #

1. 后缀树解法 #

• 核心思路：构建文本的后缀树，树中每个节点对应一个唯一子串，节点计数属性表示该子串的出现次数。遍历所有节点，计算子串长度×出现次数的值，筛选出长度>1、出现次数≥2的节点中乘积最大的子串。
• 时间复杂度：后缀树构建为O(n)，节点遍历为O(n)，整体线性时间复杂度（n为文本长度）。

2. 后缀数组+LCP数组解法 #

• 核心步骤：
  1. 构建文本的后缀数组（SA）和最长公共前缀数组（LCP）。
  2. 利用LCP数组划分连续后缀组，组内后缀的公共前缀长度即为对应子串的长度，组的有效大小（去重后）即为子串的重复次数。
  3. 对每个符合条件（长度>1、重复次数≥2）的子串计算乘积，记录最大值对应的子串。
• 优化技巧：使用单调栈处理LCP数组，可快速定位每个LCP值对应的最大区间，高效计算子串的最大重复次数。
• 时间复杂度：后缀数组构建为O(n)或O(n log n)，LCP数组处理为O(n)，整体复杂度为O(n log n)或线性。

3. 滚动哈希解法（近似高效方案） #

• 核心思路：
  1. 遍历所有可能的子串长度l（从2到文本长度的一半），用滚动哈希计算所有长度为l的子串的哈希值，统计每个哈希值的出现次数。
  2. 对每个l计算l×出现次数，记录全局最大值对应的子串。
  3. 可结合二分法优化：先估算可能的最大乘积值，再验证是否存在对应长度和次数的子串，减少不必要的遍历。
• 注意事项：存在哈希碰撞风险，建议使用双重哈希（两种不同的哈希函数）进行验证，避免误判。
• 时间复杂度：无优化时为O(n²)，结合二分法与滚动哈希可优化至O(n log n)。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者o17t H1H' S'k