如何将4x4矩阵变换转换至其他坐标系并保持视觉效果一致？

核心结论 #

肯定存在通用方法——通过基变换矩阵的共轭操作，就能将一个坐标系下的变换矩阵转换到另一个坐标系，保证屏幕上的视觉效果完全一致。

具体操作逻辑 #

本质上，坐标系的转换就是基向量的转换，我们需要先构造两个坐标系之间的基变换矩阵，再通过共轭变换转换原矩阵：

1. 构造基变换矩阵M
   假设我们有两个坐标系：源坐标系S（基向量X_s, Y_s, Z_s）和目标坐标系T（基向量X_t, Y_t, Z_t），所有基向量都用同一个参考空间（比如世界空间）的坐标表示。
   我们需要找到矩阵M，使得任意点在S下的坐标P_s转换到T下的坐标P_t满足：P_t = M * P_s。
   构造方式很直接：把每个源基向量X_s, Y_s, Z_s用目标基向量的线性组合表示，将组合系数作为M的列（3D图形学中通常采用列向量左乘矩阵的约定）。

2. 转换原变换矩阵
   假设原坐标系S下的变换矩阵是T_s，要得到目标坐标系T下等价的变换矩阵T_t，只需执行以下共轭操作：

   T_t = M * T_s * M⁻¹
   

   这个公式的逻辑是：先把T坐标系下的点转换到S坐标系（通过M⁻¹），应用原变换T_s，再转换回T坐标系（通过M），最终视觉效果和原变换完全一致。

   如果两个坐标系都是正交归一坐标系（3D图形学中最常见的情况），M是正交矩阵，此时M⁻¹等于M的转置矩阵，计算会更高效。

实例演示（你的场景） #

你给出的场景：

• 源坐标系S：X向右、Y向上、Z朝向观察者（Z轴指向屏幕内部）
• 目标坐标系T：X向右、Y远离观察者（Y轴指向屏幕外部）、Z向上

首先用统一参考空间写出两个坐标系的基向量：

• S的基向量：X_s=(1,0,0)，Y_s=(0,1,0)，Z_s=(0,0,1)
• T的基向量：X_t=(1,0,0)，Y_t=(0,0,-1)，Z_t=(0,1,0)

接下来构造基变换矩阵M：把每个源基向量用目标基向量表示：

• X_s = 1*X_t + 0*Y_t + 0*Z_t → 对应M的第一列(1,0,0)
• Y_s = 0*X_t + 0*Y_t + 1*Z_t → 对应M的第二列(0,0,1)
• Z_s = 0*X_t + (-1)*Y_t + 0*Z_t → 对应M的第三列(0,-1,0)

所以M矩阵为：

[1  0  0]
[0  0 -1]
[0  1  0]

因为是正交矩阵，M的逆就是它的转置：

[1  0  0]
[0  0  1]
[0 -1  0]

假设原变换是绕S的Y轴旋转θ，那么转换到T坐标系后，等价变换就是绕T的Z轴旋转θ，视觉上旋转效果完全一致。

通用构造步骤（给定基向量时） #

当明确给出源和目标坐标系的基向量时，按以下步骤操作：

1. 将每个源坐标系的基向量，用目标坐标系的基向量进行线性分解，得到对应的系数。
2. 用这些系数构造基变换矩阵M（3D下是3x3矩阵，每一列对应一个源基向量在目标坐标系下的分解系数）。
3. 计算M的逆矩阵M⁻¹（正交坐标系直接取转置）。
4. 用公式T_t = M * T_s * M⁻¹计算目标坐标系下的等价变换矩阵。

这个流程是完全通用的，不管两个坐标系的基向量如何定义，只要正确构造M，就能保证变换的视觉效果一致。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者thalm