Sympy绘制特定积分函数：Jupyter环境下的实现方法咨询

优先采用符号解析积分+数值化绘图的方案，比直接数值积分效率更高、结果更准确：

• 第一步：导入依赖库
  在Jupyter单元格中运行：

  import sympy as sp
  import numpy as np
  import matplotlib.pyplot as plt
  %matplotlib inline  # 让图像直接显示在Jupyter中
  

• 第二步：计算积分的解析表达式
  定义符号变量和被积函数，用Sympy求解解析解：

  t, x = sp.symbols('t x')
  integrand = sp.ln(1 + t**2) / (t*(1 + t**2))
  # 计算定积分
  F_sym = sp.integrate(integrand, (t, 0, 1/sp.cos(x)))
  

  运行后会得到解析结果：

  -polylog(2, -tan(x)**2)/2 + (log(tan(x)**2 + 1)**2)/8
  

  这里用到的多对数函数polylog，Sympy可以很好地完成其数值转换。

• 第三步：将符号函数转为数值函数
  用lambdify把Sympy表达式转换成支持Numpy数组的函数，方便批量计算：

  F_num = sp.lambdify(x, F_sym, 'numpy')
  

• 第四步：生成数据并绘图
  注意1/cos(x)的定义域：cos(x)≠0且cos(x)>0，因此x的取值范围是(-π/2, π/2)，需避开奇点：

  # 生成x的数值点，两端留0.1余量避免接近奇点
  x_vals = np.linspace(-np.pi/2 + 0.1, np.pi/2 - 0.1, 1000)
  y_vals = F_num(x_vals)
  
  # 绘图
  plt.figure(figsize=(10, 6))
  plt.plot(x_vals, y_vals, label=r'$F(x) = \int_0^{1/\cos(x)} \frac{\ln(1+t^2)}{t(1+t^2)} dt$')
  plt.xlabel('x')
  plt.ylabel('F(x)')
  plt.title('Plot of Integral Function F(x)')
  plt.grid(True, alpha=0.3)
  plt.legend(fontsize=12)
  plt.show()
  

备选方案：直接数值积分 #

如果遇到Sympy无法求出解析解的复杂积分，可使用Scipy的数值积分：

from scipy.integrate import quad

def compute_F(x):
    # 定义数值被积函数
    integrand = lambda t: np.log(1 + t**2) / (t*(1 + t**2))
    # 计算定积分，忽略误差项
    result, _ = quad(integrand, 0, 1/np.cos(x))
    return result

x_vals = np.linspace(-np.pi/2 + 0.1, np.pi/2 - 0.1, 100)
y_vals = [compute_F(x) for x in x_vals]

# 绘图代码与上述一致
plt.figure(figsize=(10,6))
plt.plot(x_vals, y_vals, label=r'$F(x) = \int_0^{1/\cos(x)} \frac{\ln(1+t^2)}{t(1+t^2)} dt$')
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('F(x)')
plt.title('Plot of Integral Function F(x)')
plt.grid(True, alpha=0.3)
plt.legend()
plt.show()

关键注意点 #

• x必须避开±π/2，否则cos(x)=0会导致积分上限无穷大（虽积分在x→±π/2时收敛，但数值计算会报错）
• 解析法计算速度远快于数值积分法，优先使用
• 可通过Sympy验证极限行为，比如计算x→π/2⁻时F(x)的极限：

  sp.limit(F_sym, x, sp.pi/2, dir='-')
  

  结果为π²/24，可在绘图中观察函数趋近于该值。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Alex