比例置信区间手动计算与prop.test()结果差异的原因解析

问题背景 #

你需要计算死亡比例的95%置信区间，数据为：

End Count
death 57
pat 319

其中pat代表总样本量。你采用正态近似（Wald）区间公式计算：

# 下限CI
57/319 - 1.96*sqrt(57/319*(1-57/319)/319)
# 上限CI
57/319 + 1.96*sqrt(57/319*(1-57/319)/319)

得到结果 [0.1366, 0.2207]；但使用R的prop.test()函数（关闭连续性校正）：

prop.test(57, 319, correct = FALSE)

得到的置信区间为 [0.1405442, 0.2244692]，两者存在差异的核心原因如下：

两种置信区间的计算方法不同 #

• 你使用的是Wald区间（正态近似法）
  该方法直接用样本比例 $\hat{p} = 57/319$ 代入计算，标准误基于样本比例本身，公式为：
  $$\hat{p} \pm z_{0.975} \times \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}$$
  其中$z_{0.975}=1.96$是标准正态分布的97.5%分位数。这种方法计算简单，但依赖“样本量足够大、比例不极端”的假设，小样本下表现不稳定。

• prop.test()默认使用威尔逊得分区间（Wilson Score Interval）
  即使设置correct=FALSE关闭连续性校正，该函数依然采用威尔逊区间而非Wald区间。威尔逊区间通过求解二次方程推导而来，会对样本比例做向0.5的收缩调整，公式为：
  $$\frac{\hat{p} + \frac{z^2}{2n}}{1 + \frac{z^2}{n}} \pm \frac{z}{1 + \frac{z^2}{n}} \times \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n} + \frac{z^2}{4n2}}$$
  这种方法的覆盖概率更接近名义置信水平（95%），尤其是在样本量不大或比例偏离0.5时，比Wald区间更可靠，因此结果会和你手动计算的Wald区间存在差异。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者N Kevin