基于点积的回归分类：如何求解满足条件的向量X？

首先修正伪代码中的笔误：原代码里B2被重复赋值，正确写法应为B1 = "000111010000"，B2 = "000110100000"。

1. 将字符串转化为二进制约束 #

每个12位字符串对应X的12个维度（x₁到x₁₂），点积运算等价于字符串中为"1"的位置对应的X元素之和（0乘任何数都为0，不影响结果）。据此转化出明确的不等式约束：

• A1（"101000001111"）：x₀ + x₂ + x₈ + x₉ + x₁₀ + x₁₁ > 0.5
• A2（"110000010101"）：x₀ + x₁ + x₇ + x₉ + x₁₁ > 0.5
• B1（"000111010000"）：x₃ + x₄ + x₅ + x₇ < 0.5
• B2（"000110100000"）：x₃ + x₄ + x₆ < 0.5

2. 构造满足约束的X #

可以通过差异化权重分配快速构造：给正类（A1、A2）中出现"1"的位置设较高值，负类（B1、B2）独有的"1"位置设极低值。比如：

• 正类相关位置（0、1、2、7、8、9、10、11）：xᵢ = 0.11
• 负类独有位置（3、4、5、6）：xᵢ = 0

验证结果：

• A1·X = 6×0.11 = 0.66 > 0.5
• A2·X = 5×0.11 = 0.55 > 0.5
• B1·X = 0 + 0 + 0 + 0.11 = 0.11 < 0.5
• B2·X = 0 + 0 + 0 = 0 < 0.5

如果需要更严谨的解，可使用线性规划工具（如Python的scipy.optimize.linprog），以最小化X元素总和为目标，代入上述不等式约束求解。

3. 代码实现示例 #

# 按构造方式生成X
X = [0.11 if i in {0,1,2,7,8,9,10,11} else 0 for i in range(12)]

# 辅助函数：计算字符串与X的点积
def dot_product(bin_str, x_vec):
    return sum(float(c) * x for c, x in zip(bin_str, x_vec))

# 定义样本字符串
A1 = "101000001111"
A2 = "110000010101"
B1 = "000111010000"
B2 = "000110100000"

# 验证约束
assert dot_product(A1, X) > 0.5
assert dot_product(A2, X) > 0.5
assert dot_product(B1, X) < 0.5
assert dot_product(B2, X) < 0.5

print("满足约束的X:", X)

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Ohumeronen