已知x与y，求解满足Ax=y的非方阵A的方法

已知向量x（10维）和y（8维），求8×10矩阵A使得Ax = y，核心要点如下：

问题本质分析 #

Ax = y展开后是8个线性方程：对A的第i行向量a_i，满足a_i · x = y_i（向量内积）。A共有80个元素，但仅受8个约束，因此存在无穷多个解，无法唯一确定原矩阵（除非额外添加约束，比如稀疏性、秩限制等）。

你之前尝试的A = BX^-1方法失效，是因为该公式仅适用于X为可逆方阵的场景——这里x是单个向量，对应的矩阵是10×1的列矩阵，不是方阵，无法求逆，因此不适用。

具体解法示例 #

方法1：最小范数解（行向量为x的倍数） #

这是所有解中行向量范数最小的解，构造方式为：每个行向量是x的缩放版本，缩放系数由y_i和x的范数决定。

# 已知x和y
x <- c(50,36,60,85,14,22,84,92,34,74)
y <- matrix(c(0.51*50+0.42*36,
              0.35*60+0.49*85+0.43*14,
              0.43*22+0.31*84+0.97*92,
              0.70*34+0.42*74,
              50+60,
              36+85+22,
              14+84+34,
              92+74), nrow=8)

# 计算x的范数平方
norm_x_sq <- sum(x^2)
# 构造解矩阵
A_min_norm <- t(y) %*% t(x) / norm_x_sq

# 验证
all.equal(A_min_norm %*% x, y) # 返回TRUE，说明满足条件

方法2：稀疏解（仅保留单个非零元素） #

选择x中任意非零元素（比如第一个元素x[1]=50），令每行仅该位置非零，直接计算满足方程的系数：

A_sparse <- matrix(0, nrow=8, ncol=10)
for (i in 1:8) {
  A_sparse[i, 1] <- y[i, 1] / x[1]
}

# 验证
all.equal(A_sparse %*% x, y) # 返回TRUE

方法3：通解构造 #

每个行向量a_i可以表示为特解 + 齐次解：

• 特解：任意满足a_i · x = y_i的向量（比如上述两种方法中的行向量）
• 齐次解：任意与x正交的10维向量（即满足v · x = 0的向量）

因此，完整通解为：A = A0 + Z，其中A0是任意一个特解矩阵，Z是任意8×10矩阵，且Z的每一行都与x正交。

关键结论 #

• 仅通过x和y无法唯一确定原矩阵A，只能找到满足条件的一类矩阵。
• 若要还原原矩阵，需要额外信息（比如A的稀疏结构、非零元素的位置等）。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Zac