已知圆半径及点A坐标，如何计算满足垂直条件的点C坐标？

已知条件 #

• 圆的圆心坐标 $O(x_o, y_o)$，半径 $r$
• 点A坐标 $A(x_a, y_a)$
• 过点A的直线L（已知斜率或方程）

步骤1：确定AC的直线方程 #

因为AC与直线L垂直，根据L的斜率确定AC的斜率：

• 若L的斜率为 $k$，则AC的斜率为 $-\frac{1}{k}$，直线方程为：
  $$y - y_a = -\frac{1}{k}(x - x_a)$$
• 若L是水平直线（$k=0$），则AC为竖直直线，方程为 $x = x_a$
• 若L是竖直直线（斜率不存在），则AC为水平直线，方程为 $y = y_a$

步骤2：联立方程求圆与AC的交点 #

将AC的直线方程代入圆的标准方程：
$$(x - x_o)^2 + (y - y_o)^2 = r^2$$

解这个二元二次方程组，得到两个交点 $C_1(x_1, y_1)$ 和 $C_2(x_2, y_2)$。

步骤3：筛选距离L最远的点C #

由于点A在直线L上，且AC⊥L，因此点到L的距离等于该点到A的距离。计算两个交点到A的距离：
$$AC = \sqrt{(x_c - x_a)^2 + (y_c - y_a)^2}$$

取距离较大的那个交点，就是所求的点C。

计算示例 #

假设：

• 圆心 $O(0,0)$，半径 $r=5$
• 点A $(2,0)$，直线L斜率为1（方程 $y = x - 2$）

1. AC的斜率为 $-1$，方程为 $y = -(x - 2)$，即 $x + y - 2 = 0$
2. 联立圆方程 $x² + y² = 25$，代入得：
   $$x² + (2 - x)^2 = 25 \implies 2x² -4x -21 = 0$$
   解得 $x = 1 \pm \frac{\sqrt{46}}{2}$，对应 $y = 1 \mp \frac{\sqrt{46}}{2}$，得到两个交点：
   $$C_1\left(1+\frac{\sqrt{46}}{2}, 1-\frac{\sqrt{46}}{2}\right), \quad C_2\left(1-\frac{\sqrt{46}}{2}, 1+\frac{\sqrt{46}}{2}\right)$$
3. 计算距离后可知，$C_1$到A的距离更大，即为圆上距离L最远的点。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Realhervee