为何均匀分布输入下的行列式与迹散点图不符合预期？

研究背景 #

我正在研究二维线性系统的各类稳定性概率，系统对应的矩阵为：

[[a,b],
 [c,d]]

其中a、b、c、d均取自[-1,1]区间的均匀分布，核心分析方向是迹（a+d）与行列式（ad-bc）的散点图（参考稳定性分类图）。

实现代码 #

使用numpy生成随机矩阵的代码如下：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

det = [] # determinant
tr = [] # trace
i=0

while i < 100000:
    linsys = np.random.uniform(-1, 1, size=(2,2))
    tr.append(linsys[0][0]+linsys[1][1])
    det.append(linsys[0][0]*linsys[1][1]-linsys[1][0]*linsys[0][1])
    i += 1
    
print(np.max(tr),np.max(det),np.min(tr),np.min(det))
    
plt.scatter(det,tr)
plt.title("Plot of Trace v Determinant")
plt.xlabel("a*d-c*b")
plt.ylabel("a+d")
#plt.scatter(np.abs(det),2*np.sqrt(np.abs(det)))
#plt.scatter(np.abs(det),-2*np.sqrt(np.abs(det)))

fig1, ax1 = plt.subplots(figsize =(6, 4))
ax1.hist(det, bins = [-3,-2,-1,0,1,2,3])
plt.title('Histogram of trace')
fig2, ax2 = plt.subplots(figsize =(6, 4))
ax2.hist(trace, bins = [-3,-2,-1,0,1,2,3])
plt.title('Histogram of determinant')

问题与疑惑 #

原本预期迹与行列式的散点图会呈现均匀分布，但实际生成的散点图出现了异常形状，同时迹和行列式的分布直方图也不符合预期。想请教：出现这种异常形状的原因是什么？是矩阵的生成方式存在错误吗？

内容的提问来源于stack exchange，提问作者jay