关于《The TeXbook》第167页示例的编译疑问及正确写法咨询

我对《The TeXbook》第167页第5行的代码片段存在疑问，原片段如下：

... $F_n=F_{n-1}+F_{n-2}$, \ $n\ge2$.}$$

我尝试补全为以下代码：

$${\rm The\ Fibonacci\ numbers\ satisfy\ $F_n=F_{n-1}+F_{n-2}$, \ $n\ge2$.}$$

但在plain TeX环境（macOS、TexShop 5.03、MacTeX 2022）下编译时出现**Missing } inserted.**错误，想确认是否无法在$$...$$中嵌套$...$。

另外我发现以下代码可成功编译，但不确定是否符合作者意图，也不理解此处使用$$...$$是否仅为增加垂直间距：

$$\centerline{The Fibonacci numbers satisfy $F_n=F_{n-1}+F(n-2)$, \ $n\ge2$.}$$

请问正确的补全方式是什么？

内容的提问来源于stack exchange，提问作者user2158697