Python计算级数A、B时A²+B²结果异常的问题排查

要计算两个级数：

• ( A = \frac{x^1}{1!} - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - ... - \frac{x^{51}}{51!} )
• ( B = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - ... - \frac{x^{50}}{50!} )

根据数学原理，( A^2 + B^2 ) 应近似等于1，但运行以下代码后得到2.xxxxxx的结果，需排查错误：

def factorial(n):
    fac = 1
    for i in range(2, n+1):
        fac *= i
    return fac


def calcA(x):
    c = True
    A = 0
    for i in range(1, 51, 2):
        if c:
            A += (x**i)/factorial(i)
        else:
            A -= (x**i)/factorial(i)
        c = not c
    return A


def calcB(x):
    B = 1
    c = False
    for i in range(2, 50, 2):
        if c:
            B += (x**i)/factorial(i)
        else:
            B -= (x**i)/factorial(i)
        c = not c
    return B

错误原因分析 #

代码的核心问题是循环范围未包含级数的最后一项，导致A和B的计算值偏离预期：

1. calcA的循环范围错误：原级数要求计算到 ( -\frac{x^{51}}{51!} )，但range(1, 51, 2)是左闭右开区间，只会生成1、3、…、49，漏掉了51这一项。
2. calcB的循环范围错误：原级数要求计算到 ( -\frac{x^{50}}{50!} )，但range(2, 50, 2)只会生成2、4、…、48，漏掉了50这一项。

这两个遗漏导致A和B的实际计算值与理论值偏差，最终平方和远大于1。

修正后的代码 #

def factorial(n):
    fac = 1
    for i in range(2, n+1):
        fac *= i
    return fac


def calcA(x):
    c = True
    A = 0
    # 修正循环范围，包含51
    for i in range(1, 52, 2):
        if c:
            A += (x**i)/factorial(i)
        else:
            A -= (x**i)/factorial(i)
        c = not c
    return A


def calcB(x):
    B = 1
    c = False
    # 修正循环范围，包含50
    for i in range(2, 51, 2):
        if c:
            B += (x**i)/factorial(i)
        else:
            B -= (x**i)/factorial(i)
        c = not c
    return B

修正后，A和B会完整计算到指定的最后一项，此时 ( A^2 + B^2 ) 的结果会近似等于1，符合数学预期。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者user20358901