无放回双球抽取问题求解咨询：联合分布等多问解析

a) 联合概率分布 #

首先确定(X,Y)的所有有效取值对：由于总共抽取2个球，X（红球数）可取0、1、2，Y（绿球数）可取0、1、2，且需满足X+Y≤2（剩余为蓝球），因此有效取值对为(0,0)、(0,1)、(0,2)、(1,0)、(1,1)、(2,0)，其余取值对的概率为0。

总抽取组合数为C(10,2)=45，各取值对的概率计算如下：

• (P(X=0,Y=0))：抽2个蓝球，(\frac{C(3,2)}{45}=\frac{3}{45}=\frac{1}{15})
• (P(X=0,Y=1))：抽1绿1蓝，(\frac{C(3,1) \times C(3,1)}{45}=\frac{9}{45}=\frac{1}{5})
• (P(X=0,Y=2))：抽2个绿球，(\frac{C(3,2)}{45}=\frac{3}{45}=\frac{1}{15})
• (P(X=1,Y=0))：抽1红1蓝，(\frac{C(4,1) \times C(3,1)}{45}=\frac{12}{45}=\frac{4}{15})
• (P(X=1,Y=1))：抽1红1绿，(\frac{C(4,1) \times C(3,1)}{45}=\frac{12}{45}=\frac{4}{15})
• (P(X=2,Y=0))：抽2个红球，(\frac{C(4,2)}{45}=\frac{6}{45}=\frac{2}{15})

整理为表格：

b) Z=2-X-Y的含义 #

因为抽取的2个球中，红球数X、绿球数Y、蓝球数之和等于2，所以Z=2-X-Y代表样本中的蓝球数量。

c) 计算Cov(X,Y) #

协方差公式为：(Cov(X,Y)=E[XY]-E[X]E[Y])

1. 计算(E[X])：X服从超几何分布（总球数N=10，红球数K=4，抽取数n=2），期望(E[X]=\frac{nK}{N}=\frac{2 \times 4}{10}=0.8)
2. 计算(E[Y])：Y服从超几何分布（总球数N=10，绿球数K=3，抽取数n=2），期望(E[Y]=\frac{2 \times 3}{10}=0.6)
3. 计算(E[XY])：只有当X=1且Y=1时，XY=1，其余情况XY=0，因此(E[XY]=1 \times \frac{4}{15}=\frac{4}{15})

代入公式：
[
Cov(X,Y)=\frac{4}{15} - 0.8 \times 0.6 = \frac{4}{15} - \frac{12}{25} = \frac{20-36}{75}=-\frac{16}{75} \approx -0.213
]

d) 计算(P(X=1 | -2<X-Y<2)) #

首先确定事件(A: -2<X-Y<2)，即(X-Y > -2)且(X-Y < 2)，结合(X,Y)的有效取值对，筛选出满足条件的对：(0,0)、(0,1)、(1,0)、(1,1)。

计算事件A的概率：
[
P(A)=\frac{1}{15}+\frac{1}{5}+\frac{4}{15}+\frac{4}{15}=\frac{1+3+4+4}{15}=\frac{12}{15}=\frac{4}{5}
]

计算事件(X=1 \cap A)的概率（即(1,0)和(1,1)的概率和）：
[
P(X=1 \cap A)=\frac{4}{15}+\frac{4}{15}=\frac{8}{15}
]

根据条件概率公式：
[
P(X=1 | A)=\frac{P(X=1 \cap A)}{P(A)}=\frac{\frac{8}{15}}{\frac{4}{5}}=\frac{2}{3}
]

内容的提问来源于stack exchange，提问作者gihatsu nakuna