假设检验最小样本量求解：汉堡均值检验（功效≥0.9，α=5%）

1. 明确假设检验类型 #

这是右侧单侧Z检验，假设设定为：

• 原假设 ( H_0: \mu = 2.4 )（汉堡均值等于2.4oz）
• 备择假设 ( H_1: \mu > 2.4 )（汉堡均值大于2.4oz）

2. 整理已知参数 #

• 显著性水平 ( \alpha = 0.05 )，单侧Z临界值 ( Z_{\alpha} = 1.645 )（对应标准正态分布上尾5%的分位数）
• 检验功效要求至少0.9，因此第二类错误概率 ( \beta = 1 - 0.9 = 0.1 )，对应Z临界值 ( Z_{\beta} = 1.282 )（对应标准正态分布下尾10%的分位数）
• 真实均值与原假设均值的差 ( \delta = \mu_1 - \mu_0 = 2.45 - 2.4 = 0.05 )
• 总体标准差 ( \sigma = \sqrt{0.1} \approx 0.3162 )

3. 样本量计算公式（单侧Z检验） #

对于单侧Z检验，满足功效要求的最小样本量公式为：

n = [(Zα + Zβ) * σ / δ]²

注：公式核心是通过控制两类错误的临界值，确保真实均值为2.45oz时，拒绝原假设的概率≥0.9。

4. 代入数值计算 #

1. 计算临界值之和：( Z_{\alpha} + Z_{\beta} = 1.645 + 1.282 = 2.927 )
2. 计算标准差与均值差的比值：( \sigma / \delta = 0.3162 / 0.05 = 6.324 )
3. 相乘后平方：( (2.927 * 6.324)^2 \approx (18.51)^2 \approx 342.6 )

由于样本量必须为整数，且需满足功效至少为0.9，向上取整得最小样本量为 343。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Randome Nam