如何处理相图中的不完整轨迹：补全或完全移除？

给定非线性系统 #

xdot = x + exp(-y)
ydot = -y

原相图绘制代码 #

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

xvalues, yvalues = np.meshgrid(np.arange(-5, 5, 0.1), np.arange(-5, 5, 0.1))
xdot = xvalues - np.exp(-yvalues)
ydot = - yvalues
plt.streamplot(xvalues, yvalues, xdot, ydot, color='r', linewidth=0.5, density=1.2)
plt.show() 

问题描述 #

绘制出的相图中存在部分视觉效果不佳的不完整轨迹（类似示意中的蓝色轨迹），需要实现以下两种效果之一：

• (i) 移除这类不完整轨迹；
• (ii) 将其补全为类似黑色轨迹的完整形态。

解决方案 #

两种需求均可以实现，具体方案如下：

方案一：移除不完整轨迹 #

利用streamplot的minlength参数过滤短轨迹，设置合理阈值即可只保留完整流线：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

xvalues, yvalues = np.meshgrid(np.arange(-5, 5, 0.1), np.arange(-5, 5, 0.1))
xdot = xvalues - np.exp(-yvalues)
ydot = -yvalues

# minlength设置为轨迹最小长度，可根据实际效果调整
plt.streamplot(xvalues, yvalues, xdot, ydot, color='r', linewidth=0.5, density=1.2, minlength=0.5)
plt.show()

方案二：补全不完整轨迹 #

方法1：调整streamplot内置参数

通过修改积分方向和最大长度参数，延长短轨迹：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

xvalues, yvalues = np.meshgrid(np.arange(-5, 5, 0.1), np.arange(-5, 5, 0.1))
xdot = xvalues - np.exp(-yvalues)
ydot = -yvalues

# maxlength控制单条流线最大长度，integration_direction设为双向积分
plt.streamplot(xvalues, yvalues, xdot, ydot, color='r', linewidth=0.5, density=1.2, 
               maxlength=10, integration_direction='both')
plt.show()

方法2：手动数值积分延拓

对于内置参数无法补全的轨迹，用scipy的数值积分工具单独计算并绘制延拓轨迹：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.integrate import solve_ivp

# 定义系统微分方程
def system(t, z):
    x, y = z
    return [x - np.exp(-y), -y]

# 生成网格数据
xvalues, yvalues = np.meshgrid(np.arange(-5, 5, 0.1), np.arange(-5, 5, 0.1))
xdot = xvalues - np.exp(-yvalues)
ydot = -yvalues

fig, ax = plt.subplots()
# 绘制原流线并获取流线对象
sp = ax.streamplot(xvalues, yvalues, xdot, ydot, color='r', linewidth=0.5, density=1.2)

# 过滤短轨迹并补全
min_length = 0.5  # 短轨迹长度阈值
for line in sp.lines.get_segments():
    # 计算当前轨迹的长度
    dx = line[1][0] - line[0][0]
    dy = line[1][1] - line[0][1]
    length = np.sqrt(dx**2 + dy**2)
    
    if length < min_length:
        # 获取轨迹的两个端点
        start_point = line[0]
        end_point = line[1]
        
        # 向两个方向积分延拓
        t_span = [0, 5]
        # 从起点向前积分
        sol_forward = solve_ivp(system, t_span, start_point, t_eval=np.linspace(0, 5, 100))
        # 从终点向后积分
        sol_backward = solve_ivp(system, t_span, end_point, t_eval=np.linspace(0, 5, 100))
        
        # 绘制延拓后的轨迹
        ax.plot(sol_forward.y[0], sol_forward.y[1], color='r', linewidth=0.5)
        ax.plot(sol_backward.y[0], sol_backward.y[1], color='r', linewidth=0.5)
        
        # 移除原短轨迹
        line.remove()

plt.show()

可行性说明 #

• 移除不完整轨迹：完全可以实现，通过minlength参数快速过滤即可，阈值可按需调整。
• 补全不完整轨迹：大部分情况可以实现，内置参数调整适合快速优化；手动积分延拓能处理更复杂的短轨迹，若轨迹终止是因为系统奇点（如导数无穷大），则无法完全补全，但能显著改善视觉效果。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者user1393214