如何计算我的快乐数（Happy Number）函数的Big O时间复杂度？

我知道这并非LeetCode第202题「快乐数」的最优实现，但我想要分析这段带有条件while循环的代码的时间复杂度Big O。另外，当n的初始值为0-4时，时间复杂度为O(1)。

/**
 * @param {number} n
 * @return {boolean}
 */

var isHappy = function(n) {
    /* pseudocode
    - n is input
    - while loop if num is greater than 1
    - turn number to string 
    - split the string
    - map to an array
    - add all numbers' squares
    - if num is 1, break and return true
    - if not loop 
    */
    
    // check for definite false cases
    if (n === 1) {
            return true;
        }
    else if (n === 0|| n === 2 || n === 3 || n === 4) {
        return false;
        }
    
    while (n > 1) {
        // split and turn to string
        n = n.toString().split("");
        console.log(n);
        
        // map to arr
        //let tempArr = n.map(n);
        console.log("n: " + n);
        
        // add all nums squares
        let tempNum = 0;
        n.forEach(e => {
            tempNum += (e**2);
            console.log("adding ", e**2);
        });
        
        // change n to sum and reset tempNum
        n = tempNum;
        tempNum = 0;
        
        // check conditions for true/false
        if (n === 1) {
            return true;
        }
        else if (n === 0|| n === 2 || n === 3 || n === 4) {
        return false;
        }
    }
};

时间复杂度分析 #

核心前提：快乐数的迭代收敛特性 #

不管初始输入的n有多大，经过有限次迭代后，结果只会出现两种情况：

• 收敛到1（快乐数，直接返回true）
• 进入固定循环：4 → 16 → 37 → 58 → 89 → 145 → 42 → 20 → 4（非快乐数，遇到4直接返回false）

这意味着while循环的迭代次数是固定常数，不会随n的大小无限增长（实际测试中，最大迭代次数不超过20次，属于常数范畴）。

单次迭代的时间开销 #

每次while循环里的核心操作：

• 将n转为字符串并拆分：操作的时间取决于n的位数，而一个数n的位数是O(log₁₀n)（等价于O(log n)，对数底数不影响大O复杂度）。
• 遍历拆分后的数组计算平方和：同样需要遍历每一位数字，时间开销也是O(log n)。

因此单次迭代的时间复杂度是O(log n)。

整体时间复杂度 #

由于迭代次数是常数，常数次的O(log n)操作叠加后，整体时间复杂度仍为O(log n)。

特殊情况 #

当n的初始值为0-4时，代码直接通过条件判断返回结果，无需进入循环，此时时间复杂度为O(1)。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Sfzmango