为何正态分布的累积分布函数(CDF)最大值不为1？

首先明确两个核心要点：

• 标准正态分布（N(0,1)）是连续型概率分布，它的随机变量取值范围是整个实数轴(-∞, +∞)，并非只局限在≤3的区间。
• 累积分布函数（CDF）的定义是P(X ≤ x)，即随机变量X取值小于等于x的概率。

你代码中计算的norm(0,1).cdf(3)，对应的是X≤3的概率。但X仍然有极小的概率大于3（比如X=4、5甚至更大的数值），这部分概率虽然极低，但绝对不为0。具体来说，标准正态分布中X>3的概率约为0.00135（千分之1.35左右），因此：

P(X ≤ 3) = 1 - P(X > 3) ≈ 1 - 0.00135 = 0.99865

这就是你得到的结果。

如果想让CDF值更接近1，可以取更大的x，比如x=5时，norm(0,1).cdf(5)≈0.9999997，已经非常接近1，但永远不会等于1——因为理论上X可以取到任意大的数，只是概率趋近于0。

另外纠正你的一个误解：标准正态分布的随机变量不是必然≤3，只是大于3的概率极小，在多数实际场景中可忽略，但从概率理论层面，这部分概率是真实存在的。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者anumberofthem