如何按抛物线分布生成数值？离子发射角度采样求助

首先明确你的分布函数：离子发射角度$\theta$的概率密度函数（PDF）为$f(\theta) = 3\cos\theta\sin^2\theta$，其中$\theta \in [0, \pi/2]$，你提到的$\theta_0$是该分布的特征峰值角度（计算可得$\theta_0=\arctan(\sqrt{2})\approx54.7^\circ$）。

用逆变换法的正确实现步骤如下：

1. 推导累积分布函数（CDF）
   对归一化后的PDF从$0$到$\theta$积分，得到CDF：
   $$F(\theta) = \int_0^\theta 3\cos t \sin^2 t dt$$
   通过换元$u=\sin t$（$du=\cos t dt$），积分可简化为：
   $$F(\theta) = 3\int_0^{\sin\theta} u^2 du = \sin^3\theta$$

2. 逆变换生成随机数
   取$[0,1]$区间内的均匀分布随机数$U$，令$U=F(\theta)$，解出$\theta$：
   $$\theta = \arcsin(U^{1/3})$$

3. 代码实现示例（Python）

   import numpy as np
   import matplotlib.pyplot as plt
   
   def generate_parabola_angles(n_samples):
       u = np.random.uniform(0, 1, n_samples)
       theta = np.arcsin(u ** (1/3))
       return theta
   
   # 生成样本并验证分布匹配度
   samples = generate_parabola_angles(10000)
   theta_bins = np.linspace(0, np.pi/2, 50)
   pdf_theory = 3 * np.cos(theta_bins) * (np.sin(theta_bins))**2
   
   plt.hist(samples, bins=theta_bins, density=True, label='采样分布')
   plt.plot(theta_bins, pdf_theory, 'r-', label='理论分布')
   plt.xlabel('发射角度θ（弧度）')
   plt.ylabel('概率密度')
   plt.legend()
   plt.show()
   

你之前用逆变换法失败，大概率是未对原始发射强度函数做归一化处理，或是CDF的推导计算出错——直接用未归一化的$I(\theta)$计算CDF，会导致逆变换后的结果不符合期望分布。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Alex