基于R语言lpSolve的线性优化：15美元预算下最大化卡路里

原代码的核心问题 #

1. 约束矩阵维度错误：lpSolve要求约束矩阵每行对应一个约束，你原代码中price是列向量，需转置为行向量才能被正确识别。
2. 未指定整数变量：商品购买数量必须是整数，需添加int.vec参数声明所有变量为整数，否则会得到无实际意义的非整数解。

基础版：仅预算约束下的最大卡路里求解 #

以下是修正后的基础代码，解决15美元预算内最大化卡路里的问题：

library(lpSolve)

# 10种商品的卡路里与价格数据
cals <- c(830, 110, 600, 710, 210, 70, 200, 380, 460, 634)
price <- c(7.89, 9.96, 11.31, 7.87, 7.04, 7.18, 4.43, 9.10, 6.72, 6.20)

# 目标函数：最大化总卡路里，系数为各商品卡路里值
objective.in <- cals

# 约束矩阵：每行一个约束，第一行为预算约束（价格总和 ≤15）
const.mat <- t(as.matrix(price))
# 约束方向
const.dir <- "<="
# 约束阈值：预算上限15美元
const.rhs <- 15

# 求解：指定所有变量为整数
opt <- lp(
  direction = "max",
  objective.in = objective.in,
  const.mat = const.mat,
  const.dir = const.dir,
  const.rhs = const.rhs,
  int.vec = 1:length(cals)
)

# 输出结果
cat("最大卡路里值：", opt$objval, "\n")
cat("各商品购买数量：", opt$solution, "\n")

扩展约束1：至少购买x件商品 #

比如要求至少买2件，只需新增“变量总和 ≥x”的约束：

# 扩展约束矩阵：预算约束 + 购买数量总和约束
const.mat <- rbind(
  t(as.matrix(price)),  # 原预算约束
  rep(1, length(cals))  # 新约束：所有商品购买数量之和 ≥2
)
# 约束方向：预算≤，数量总和≥
const.dir <- c("<=", ">=")
# 约束阈值：预算15，至少买2件
const.rhs <- c(15, 2)

# 求解
opt <- lp(
  direction = "max",
  objective.in = objective.in,
  const.mat = const.mat,
  const.dir = const.dir,
  const.rhs = const.rhs,
  int.vec = 1:length(cals)
)

扩展约束2：限制每件商品购买数量 #

情况A：每件最多买2件（可买0件）

给每个商品添加“购买数量 ≤2”的约束：

# 约束矩阵：预算约束 + 10个商品的数量上限约束
const.mat <- rbind(
  t(as.matrix(price)),  # 预算约束
  diag(length(cals))    # 对角矩阵，每行对应一个商品的数量上限（≤2）
)
# 约束方向：预算≤，10个商品≤2
const.dir <- c("<=", rep("<=", length(cals)))
# 约束阈值：预算15，每个商品最多买2件
const.rhs <- c(15, rep(2, length(cals)))

# 求解
opt <- lp(
  direction = "max",
  objective.in = objective.in,
  const.mat = const.mat,
  const.dir = const.dir,
  const.rhs = const.rhs,
  int.vec = 1:length(cals)
)

情况B：每件必须买1或2件（不可买0件）

给每个商品添加“购买数量 ≥1”和“购买数量 ≤2”的双重约束：

# 约束矩阵：预算约束 + 10个≥1约束 + 10个≤2约束
const.mat <- rbind(
  t(as.matrix(price)),  # 预算约束
  diag(length(cals)),    # 每个商品≥1的约束
  diag(length(cals))     # 每个商品≤2的约束
)
# 约束方向：预算≤，10个≥，10个≤
const.dir <- c("<=", rep(">=", length(cals)), rep("<=", length(cals)))
# 约束阈值：预算15，每个商品至少买1件、最多买2件
const.rhs <- c(15, rep(1, length(cals)), rep(2, length(cals)))

# 求解
opt <- lp(
  direction = "max",
  objective.in = objective.in,
  const.mat = const.mat,
  const.dir = const.dir,
  const.rhs = const.rhs,
  int.vec = 1:length(cals)
)

内容的提问来源于stack exchange，提问作者codeweird