求区间1.12579<x<8.87821内函数z的最大值（非暴力解法）

已知定义域：1.12579 < x < 8.87821，目标函数：
z = (20000000x)/(1999x + 19980000)

方法一：分式拆分分析单调性 #

对目标函数做代数变形，拆分分子：

z = (20000000x)/(1999x + 19980000)
  = [20000000/1999 * (1999x + 19980000) - 20000000*19980000/1999] / (1999x + 19980000)
  = 20000000/1999 - (20000000*19980000)/(1999*(1999x + 19980000))

观察变形后的式子：

• 第一项20000000/1999是常数；
• 第二项是分子为正、分母随x增大而增大的分式，因此第二项随x增大而减小。

由此可知，整个函数z随x的增大而单调递增。

方法二：求导验证单调性 #

对z关于x求导：

z' = [20000000*(1999x + 19980000) - 20000000x*1999] / (1999x + 19980000)²

化简分子部分：

20000000*(1999x + 19980000) - 20000000x*1999 = 20000000*19980000 > 0

分母是平方项，恒大于0，因此z' > 0，说明z在定义域内单调递增。

结论 #

因为z在(1.12579, 8.87821)上单调递增，所以最大值出现在x趋近于区间右端点8.87821时，代入计算得：

z ≈ (20000000*8.87821)/(1999*8.87821 + 19980000) ≈ 8.8791

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Yurii