如何用SymPy的series函数求解多元函数的泰勒级数？

要在SymPy中求解多元函数的泰勒级数，可通过对每个变量依次调用series函数实现（SymPy的series默认支持单变量展开，链式调用即可完成多变量展开），以下是具体步骤和示例：

基础示例：多项式函数展开 #

以你给出的函数 ( f(x,y) = x^3 + xy - 2y^2 ) 为例，在原点 ((0,0)) 处展开到3阶：

import sympy as sp

# 定义符号变量
x, y = sp.symbols('x y')
# 定义目标函数
f = x**3 + x*y - 2*y**2

# 对x在0处展开到3阶，移除余项后再对y做同样操作
taylor_series = f.series(x, 0, 3).removeO().series(y, 0, 3).removeO()

# 输出结果
print(taylor_series)

运行结果为：( x^3 + x y - 2 y^2 )（由于原函数本身是3阶多项式，展开结果与原函数一致）

进阶示例：超越函数展开 #

对于更复杂的超越函数，比如 ( f(x,y) = e^{x+y} )，在原点 ((0,0)) 处展开到4阶：

import sympy as sp

x, y = sp.symbols('x y')
f = sp.exp(x + y)

# 链式展开并移除余项
taylor_series = f.series(x, 0, 4).removeO().series(y, 0, 4).removeO()

print(taylor_series)

运行结果为：
( 1 + x + y + \frac{x^2}{2} + x y + \frac{y^2}{2} + \frac{x^3}{6} + \frac{x^2 y}{2} + \frac{x y^2}{2} + \frac{y^3}{6} + \frac{x^4}{24} + \frac{x^3 y}{6} + \frac{x^2 y^2}{4} + \frac{x y^3}{6} + \frac{y^4}{24} )

关键说明 #

• series(var, point, order)：参数分别为待展开的变量、展开点、展开阶数（阶数指最高次项的次数）
• removeO()：用于移除展开式中的余项符号 ( O(\cdot) )，仅保留具体的展开项
• 若需在非原点（如 ((a,b))）处展开，只需将series中的point参数替换为对应数值即可，例如在 ((1,2)) 处展开：

  taylor_series = f.series(x, 1, 3).removeO().series(y, 2, 3).removeO()
  

内容的提问来源于stack exchange，提问作者DGM