如何将含8个顶点的3D盒体(8,3)转换为12参数(12,1)的表示？

核心思路 #

盒体本质是平行六面体，所有顶点可由中心坐标、三个轴向长度、两个正交单位方向向量完全定义（第三个方向向量可通过前两个叉乘推导，无需存储），以此将24个顶点参数压缩至12个。

具体转换步骤 #

• 步骤1：计算盒体中心
  将8个顶点的x、y、z坐标分别求和后取平均值，得到中心坐标 ( C=(C_x, C_y, C_z) )：

  C_x = (x₁+x₂+...+x₈)/8
  C_y = (y₁+y₂+...+y₈)/8
  C_z = (z₁+z₂+...+z₈)/8
  

• 步骤2：生成顶点相对中心的偏移向量
  对每个顶点 ( P_i=(x_i,y_i,z_i) )，计算偏移向量 ( V_i = P_i - C )，得到8个从中心指向顶点的向量。

• 步骤3：确定三个轴向的长度与两个单位方向向量

  1. 从8个偏移向量中，选取模长最大的向量 ( V_u )，对应的轴向长度 ( L_1 = 2 \times |V_u| )（因为 ( V_u ) 是中心到顶点的半长向量），单位方向向量 ( \boldsymbol{e_1} = V_u / |V_u| )。
  2. 从剩余偏移向量中，找到在垂直于 ( \boldsymbol{e_1} ) 平面上投影模长最大的向量 ( V_v )，将其投影到该平面得到 ( V_{v,\text{proj}} )，对应的轴向长度 ( L_2 = 2 \times |V_{v,\text{proj}}| )，单位方向向量 ( \boldsymbol{e_2} = V_{v,\text{proj}} / |V_{v,\text{proj}}| )。
  3. 第三个轴向的单位方向向量无需存储，可通过叉乘计算：( \boldsymbol{e_3} = \boldsymbol{e_1} \times \boldsymbol{e_2} )，对应的轴向长度 ( L_3 = 2 \times |V_w \cdot \boldsymbol{e_3}| )（( V_w ) 是剩余的非共面偏移向量）。

最终12参数构成 #

• 中心坐标：( (C_x, C_y, C_z) )（3个参数）
• 轴向长度：( (L_1, L_2, L_3) )（3个参数）
• 单位方向向量1：( (\boldsymbol{e_1}_x, \boldsymbol{e_1}_y, \boldsymbol{e_1}_z) )（3个参数）
• 单位方向向量2：( (\boldsymbol{e_2}_x, \boldsymbol{e_2}_y, \boldsymbol{e_2}_z) )（3个参数）

反向还原顶点 #

若要从12参数还原8个顶点，只需遍历所有±组合，计算：

P = C ± (L₁×e₁)/2 ± (L₂×e₂)/2 ± (L₃×e₃)/2

其中 ( \boldsymbol{e_3} = \boldsymbol{e_1} \times \boldsymbol{e_2} )，共8种组合对应原盒体的8个顶点。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Alberto Tono