如何在Sympy中计算内部收益率(IRR)与到期收益率(YTM)？

问题背景 #

给定债券参数：面值1000美元，年票息50美元，当前售价900美元，3年后到期，YTM满足方程：

900 = 50/(1+r) + 50/(1+r)² + 50/(1+r)³ + 1000/(1+r)³

以下两种方法均可求解r：

方法一：用Sympy直接求解 #

Sympy的符号求解器可以直接处理这个非线性方程，步骤如下：

1. 导入sympy库并定义符号变量r
2. 构建方程表达式
3. 调用求解方法后，筛选出合理的正利率解（YTM为正）

代码示例：

import sympy as sp

# 定义符号变量
r = sp.symbols('r')

# 构建方程：令等式左右差值为0
equation = sp.Eq(900, 50/(1+r) + 50/(1+r)**2 + 50/(1+r)**3 + 1000/(1+r)**3)

# 求解方程
solutions = sp.solve(equation, r)

# 筛选有效解：实数且为正
valid_r = [sol.evalf() for sol in solutions if sol.is_real and sol > 0]
print(f"YTM（r）的值为：{valid_r[0]}")

运行后会得到约0.0891（即8.91%）的结果。

方法二：手动实现牛顿法 #

如果不想依赖符号计算库，也可以用牛顿迭代法逼近方程的根，思路如下：

1. 定义目标函数f(r)：债券理论价格与实际价格的差值，即f(r) = 50/(1+r) + 50/(1+r)² + 1050/(1+r)³ - 900（合并最后一期的票息与面值）
2. 计算目标函数的导数f'(r)，用于牛顿迭代公式
3. 设置初始迭代值（比如0.05，因为票息率为5%，债券折价发行，YTM应高于此值）
4. 迭代计算直到结果精度满足要求

代码示例：

def bond_ytm(price, face_value, coupon, years, precision=1e-6, max_iter=100):
    # 初始猜测值
    r = 0.05
    for _ in range(max_iter):
        # 计算当前r对应的债券现值
        pv = sum(coupon/(1+r)**t for t in range(1, years+1)) + face_value/(1+r)**years
        # 计算现值对r的导数
        dp_dr = sum(-t*coupon/(1+r)**(t+1) for t in range(1, years+1)) - years*face_value/(1+r)**(years+1)
        # 牛顿迭代更新r
        r_new = r - (pv - price)/dp_dr
        # 检查精度是否达标
        if abs(r_new - r) < precision:
            return r_new
        r = r_new
    # 迭代未收敛返回None
    return None

# 代入参数计算
ytm = bond_ytm(900, 1000, 50, 3)
print(f"YTM（r）的值为：{ytm:.4f}")

运行结果同样约为0.0891（8.91%）。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Flux