网格路径计数算法优化咨询：现有方案能否改进？

原策略的核心问题 #

你的暴力枚举思路本质上不合理，因为对于N×N网格，需要枚举2^{(2N)种可能的移动序列。当N=20时，总共有2}40≈1万亿次循环——哪怕你的代码每秒能处理1亿次循环，也需要近30小时才能跑完，这显然不现实。你观察到的13×13（26步，2^{26≈6700万次）耗时7秒、16×16（32步，2}32≈42亿次）耗时8分钟，完全符合指数增长的规律，N再增大只会让耗时爆炸式增长。

正确的数学解法：组合数计算 #

这个问题是经典的组合数学问题：从左上角到右下角，需要恰好N次向右移动和N次向下移动，总共有2N步。路径的数量等价于从2N个位置中选择N个位置放向右移动（剩下的自动是向下移动），即组合数公式：

$$C(2N, N) = \frac{(2N)!}{N! \times N!}$$

对于20×20网格，计算得：
$$C(40,20) = 137846528820$$

高效的C语言实现 #

直接计算组合数时，要避免大数溢出，推荐用分步约分的方式计算（每一步都保证结果是整数，无需处理阶乘的超大值）：

#include <stdio.h>

int main() {
    const int N = 20;
    unsigned long long result = 1;
    
    // 分步计算 C(2N, N) = (N+1)*(N+2)*...*(2N)/(1*2*...*N)
    for (int i = 1; i <= N; i++) {
        result = result * (N + i) / i;
    }
    
    printf("20x20网格的路径数量：%llu\n", result);
    return 0;
}

这段代码只需要20次循环，瞬间就能得到结果，完全不存在性能问题。

原代码的小优化（仅作学习参考） #

如果只是想优化原暴力代码的效率（对20×20仍不可行，但适合理解优化思路），可以做以下改进：

• 跟踪1的数量，避免每次遍历数组统计：初始化count1=0，每次调用risen时，若将0改为1则count1++，若将1改为0则count1--
• 去掉sumn函数，用count1 < sizen作为循环终止条件
• ispath只需判断count1 == sizen/2，无需遍历数组

优化后的暴力代码示例（仅用于小N测试）：

#include <stdio.h>

int risen(int* n, int siz, int* count1) {
    for (int i = siz-1; i >= 0; i--) {
        if (n[i] == 0) {
            n[i] = 1;
            (*count1)++;
            return 1;
        } else {
            n[i] = 0;
            (*count1)--;
        }
    }
    return 0;
}

int main() {
    const int N = 2; // 仅适合小N测试
    int n[2*N] = {0};
    int sizen = 2*N;
    long long cnt = 0;
    int count1 = 0;
    
    while (count1 < sizen) {
        if (count1 == sizen/2) {
            cnt++;
        }
        risen(n, sizen, &count1);
    }
    printf("路径数量：%lli\n", cnt);
    return 0;
}

内容的提问来源于stack exchange，提问作者JuliusC