如何在MOSEK C++中表达分式形式的目标函数？

MOSEK是凸优化求解器，仅支持凸/凹形式的目标与约束，无法直接处理除法。针对你的分式$\frac{a}{b+ac}$（$a$为变量，$b,c$为参数），需先通过代数变形和凸性分析，转化为MOSEK可支持的形式，以下分场景说明：

前提条件 #

首先需明确变量与参数的符号约束（保证分式有意义且满足凸性要求）：假设$b>0$、$c>0$、$a>0$，此时分母$b+ac>0$，且原函数$f(a)=\frac{a}{b+ac}$为凹函数。

场景1：最大化原函数 #

最大化凹函数属于凸优化问题（等价于最小化其相反数），可通过以下步骤实现：

1. 先对原函数做代数变形：
   $$f(a)=\frac{a}{b+ac}=\frac{1}{c}-\frac{b}{c}\cdot\frac{1}{b+ac}$$
   最大化$f(a)$等价于最小化$\frac{1}{b+ac}$（常数项不影响优化方向）。
2. 利用MOSEK支持的Expr::inv()函数（仅对正数表达式有效）构建目标，同时添加分母为正的约束。

修正后的代码示例 #

// 定义变量与参数
Variable::t a_numerator = M->variable();
Parameter::t b_denominator_1 = M->parameter();
Parameter::t c_denominator_2 = M->parameter();

// 修正原代码的括号错误，构建分母表达式
Expression::t b_add_ac = Expr::add(b_denominator_1, Expr::mul(a_numerator, c_denominator_2));

// 添加约束：保证分母为正（可替换为极小正数避免数值问题）
M->constraint(b_add_ac, Domain::greaterThan(1e-8));

// 设定目标：最小化1/(b+ac)，等价于最大化原分式函数
M->objective(ObjectiveSense::Minimize, Expr::inv(b_add_ac));

结果转换 #

求解完成后，可通过最优变量值计算原分式的结果：
假设$a$的最优值为a_opt，参数$b$、$c$的取值为b_val、c_val，则原函数的最优值为：
$$f_{opt} = \frac{a_{opt}}{b_{val} + a_{opt} \cdot c_{val}}$$

场景2：最小化原函数 #

当$b>0$、$c>0$、$a>0$时，原函数$f(a)$是凹函数，最小化凹函数不属于凸优化问题，MOSEK无法直接处理。若必须做最小化，需调整问题约束、变量范围，或更换非凸优化求解器。

关键注意事项 #

• 必须保证分母$b+ac>0$，否则分式无意义，且MOSEK的inv()函数仅支持正数输入。
• MOSEK仅能处理凸优化问题，所有目标与约束需满足凸性要求，否则无法得到有效解。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者new_be