带可变耗时的作业调度问题：高效算法及DP有效性问询

你的DP算法是否属于高效多项式时间算法？ #

不属于。你提出的DP时间复杂度为O(N * max(d_i))，其中max(d_i)是任务的最大截止时间。这里的关键在于：多项式时间算法的复杂度必须是输入规模的多项式函数，而输入中截止时间d_i是用二进制编码存储的，其输入规模是log(max(d_i))量级，而非max(d_i)本身。当max(d_i)很大（比如达到1e9）时，这个算法的时间开销会呈指数级增长，因此它属于伪多项式时间算法，不是严格意义上的高效多项式时间算法。

存在的高效多项式时间算法 #

这个问题可以通过以下步骤实现多项式时间求解：

1. 任务排序：首先将所有任务按照截止时间d_i从小到大排序。如果截止时间相同，可按耗时t_i从小到大排序（不影响最终结果，仅优化选择顺序）。

2. 动态规划优化：定义dp[j]为完成j个任务所需的最小总时间。初始状态dp[0] = 0，其余dp[j] = ∞（表示无法完成j个任务）。

   对于每个排序后的任务i，从后往前遍历j（从当前已能完成的最大任务数开始，直到1）：

   • 如果dp[j-1] + t_i ≤ d_i，说明可以将第i个任务加入到完成j-1个任务的序列中，此时更新dp[j] = min(dp[j], dp[j-1] + t_i)。

3. 确定最优解：遍历dp数组，找到最大的j使得dp[j]不为∞，这个j就是能满足截止时间的最大任务数。之后可通过回溯DP数组得到具体的调度方案。

该算法的时间复杂度为O(N²)，属于严格的多项式时间算法，因为N是任务数量，输入规模与N线性相关。

补充说明 #

你提到的经典1单位时间任务调度的贪心算法（优先处理截止时间最近的任务）无法直接推广到耗时任意的场景——选择短耗时的任务可能能容纳更多任务，仅看截止时间可能会导致总耗时超标。而上述DP方法通过追踪完成k个任务的最小时间，确保了我们能找到最优的任务组合。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者mega-rototo