为何求完全数的C++程序仅输出1？修改循环后正确却不解原理

先看你写的原代码：

int n;
int sum;
    
cout << "write a number";
cin >> n;

for (int i = 1; i < n; i++)
{
    sum = 0;
    for (int j = 1; j <= i; j++)
    {
        if (i % j == 0)
            sum = sum + j;
    }
    if (sum == i)
        cout << i<< endl;
}

为什么原程序只输出1？ #

完全数的定义是：一个数等于它所有除自身以外的正约数之和。但你的第二个循环把j遍历到了i本身，这就导致sum会把i自己也加进去。比如：

• 对于i=6，它的约数是1、2、3、6，sum=1+2+3+6=12，显然12≠6，不会被输出；
• 只有i=1的时候，它的约数只有1，sum=1，刚好等于i，所以只会输出1。

为什么改成j <= i/2就正确？ #

一个正整数i（i>1）的所有非自身约数里，最大的那个不会超过i/2。比如：

• 6的非自身最大约数是3，正好是6/2；
• 28的非自身最大约数是14，正好是28/2；
• 哪怕是质数比如7，它的非自身约数只有1，也远小于7/2=3.5。

所以遍历到i/2就足够收集到所有除自身外的正约数，此时计算的sum就是这些约数的总和，当sum == i时，就符合完全数的定义了。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者kebabsofgod