如何求两相交球体交点处的切平面位置与法线向量？

核心思路 #

两个相交球体的所有交点都在同一个平面（称为根平面）上，这个平面就是两个球体在交点处的公共切平面。求解这个平面只需要用到球心位置和半径，步骤直观易懂。

分步计算（附代码实现） #

以下步骤直接对应你提供的输入参数：

Vector3 sphere1 = new Vector3(8, 6, 2);
float radius1 = 5f;

Vector3 sphere2 = new Vector3(5, 3, 8);
float radius2 = 8f;

1. 计算球心连线向量
   先算出从第一个球心指向第二个球心的向量，这个向量的方向就是切平面的法线方向：

   Vector3 delta = sphere2 - sphere1; // 结果：(-3, -3, 6)
   

2. 计算球心之间的距离
   用向量长度公式算出两个球心的直线距离，同时计算距离的平方以避免开根号，提升后续计算效率：

   float distance = delta.magnitude; // 结果：√(9+9+36) = √54 ≈7.348
   float distanceSq = delta.sqrMagnitude; // 结果：54
   

3. 计算切平面的法线
   把球心连线向量单位化（转换为长度为1的向量），得到的就是切平面的法线：

   Vector3 planeNormal = delta.normalized; // 结果：(-1/√6, -1/√6, 2/√6) ≈ (-0.408, -0.408, 0.816)
   

4. 计算切平面上的参考点
   取球心连线与切平面的交点作为平面的位置参考点。先通过公式算出该点到第一个球心的距离d1，再从第一个球心出发沿法线方向移动d1距离得到该点：

   // 推导公式：d1 = (距离² + 半径1² - 半径2²) / (2*距离)
   float d1 = (distanceSq + radius1 * radius1 - radius2 * radius2) / (2 * distance);
   Vector3 planePosition = sphere1 + planeNormal * d1; 
   // 代入数值计算：d1=(54+25-64)/(2*√54)=15/(6√6)=5/(2√6)≈1.021
   // planePosition最终结果≈(7.583, 5.583, 2.833)
   

验证逻辑 #

这个平面满足两个关键条件：

• 所有同时在两个球面上的点都在该平面内
• 平面法线与球心连线平行，保证了在交点处与两个球面都垂直，符合切平面的定义

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Tea-F-Tea