从时间缩放版本之和估计未知基函数的稳定数值方法咨询

问题归属咨询与定义 #

不确定此问题属于数学领域还是数值计算领域，特此寻求方向指引。

已知时域函数 ( g(t) ) 由未知基函数 ( f(t) ) 的多个时间缩放版本叠加而成：

( g(t) = f(a_0·t) + f(a_1·t) + ... + f(a_N·t) )

其中 ( N ) 与时间缩放系数 ( (a₀,a₁,…,a_N) ) 为已知量，且满足 ( 0 < a_i ≤ 1 )。已在 ( M ) 个均匀采样点 ( t=[0,1,…,M-1] ) 观测到 ( g(t) ) 的值，假设 ( g(t) ) 与 ( f(t) ) 连续且性质良好，目标是估计采样点上的 ( f(t) )。

已尝试方法及存在的问题 #

笔者尝试将 ( g(t) ) 和 ( f(t) ) 用 ( K ) 次多项式表示：

( g(t) = \sum_{k=0}^{K} g_k·t^k )
( f(t) = \sum_{k=0}^{K} f_k·t^k )

由此推导出多项式系数的求解公式：

• ( f_K = g_K / (a_0^K + a_1^K + .... + a_N^K) )
• ( f_{K-1} = g_{K-1} / (a_0^{K-1} + a_1^{K-1} + .... + a_N^{K-1}) )
• ……
• ( f_0 = g_0 / N )

但该方法受限于 ( g(t) ) 的 ( K ) 次多项式拟合敏感性，数值稳定性较差，现寻求更稳定的替代求解方法。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Delory