如何在对数X轴直方图上正确拟合与缩放概率密度函数？

问题描述 #

我尝试将Gilbrat PDF拟合至列表形式的数据集，希望在对数X轴的直方图中展示数据并添加拟合曲线，但曲线相比直方图过于平缓。我曾参考相关方法调整PDF缩放，但问题仍未解决。以下是含随机生成数据的代码示例：

import scipy.stats as st
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

#create random dataset
data = st.gilbrat.rvs(scale = 10,  size = 100).tolist()

param = st.gilbrat.fit(data)
x = np.linspace(min(data),max(data),len(data))
pdf = st.gilbrat.pdf(x, param[0], param[1])

plt.figure()    
logbins = np.logspace(np.log10(np.min(data)),np.log10(np.max(data)),20)
result = plt.hist(data, bins=logbins, edgecolor="black",  alpha = 0.5, label="data")
dx = result[1][1] - result[1][0]
plt.plot(x,pdf * (len(data)*dx), label="fit")
plt.xscale('log')
plt.xlabel("x")
plt.ylabel("Number of occurence")
plt.legend()

问题根源 #

你用了固定的dx = result[1][1] - result[1][0]来缩放PDF，但对数刻度下的bin宽度是不均匀的——后面的bin宽度远大于前面的，单一的dx无法匹配所有位置的缩放需求，导致曲线整体被低估，看起来过于平缓。

修正方案 #

有两种常用的修正方式，根据你需要的y轴类型选择：

方式1：使用概率密度匹配（推荐）

让直方图输出概率密度（density=True），直接和scipy.stats的PDF输出对齐，无需额外缩放：

import scipy.stats as st
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 创建随机数据集
data = st.gilbrat.rvs(scale=10, size=100).tolist()

param = st.gilbrat.fit(data)
# 用对数间隔生成x点，贴合对数轴的分布，曲线更平滑
x = np.logspace(np.log10(np.min(data)), np.log10(np.max(data)), 1000)
pdf = st.gilbrat.pdf(x, param[0], param[1])

plt.figure()    
logbins = np.logspace(np.log10(np.min(data)), np.log10(np.max(data)), 20)
# 开启density=True，直方图y轴为概率密度
plt.hist(data, bins=logbins, edgecolor="black", alpha=0.5, label="data", density=True)
# 直接绘制PDF，和直方图的概率密度轴匹配
plt.plot(x, pdf, label="fit", linewidth=2)

plt.xscale('log')
plt.xlabel("x")
plt.ylabel("概率密度")
plt.legend()
plt.show()

方式2：保留出现次数作为y轴

如果需要y轴显示实际计数，需要为每个x位置匹配对应的bin宽度，再进行缩放：

import scipy.stats as st
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 创建随机数据集
data = st.gilbrat.rvs(scale=10, size=100).tolist()

param = st.gilbrat.fit(data)
# 用对数间隔生成x点
x = np.logspace(np.log10(np.min(data)), np.log10(np.max(data)), 1000)
pdf = st.gilbrat.pdf(x, param[0], param[1])

plt.figure()    
logbins = np.logspace(np.log10(np.min(data)), np.log10(np.max(data)), 20)
# 获取每个bin的宽度
bin_widths = logbins[1:] - logbins[:-1]
# 绘制直方图并获取计数
counts, _, patches = plt.hist(data, bins=logbins, edgecolor="black", alpha=0.5, label="data")

# 为每个x点插值匹配对应的bin宽度
x_bin_widths = np.interp(x, logbins[:-1], bin_widths)
# 缩放PDF：概率密度 * 样本数 * 对应bin宽度 = 计数
plt.plot(x, pdf * len(data) * x_bin_widths, label="fit", linewidth=2)

plt.xscale('log')
plt.xlabel("x")
plt.ylabel("出现次数")
plt.legend()
plt.show()

额外优化点 #

• 用np.logspace生成x轴数据，让点在对数轴上均匀分布，拟合曲线更平滑准确
• 增加拟合曲线的线宽（linewidth=2），让曲线更清晰

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Conni