如何修改Matlab linprog代码求解以v为目标的最优混合策略问题

给定如下支付矩阵，求解玩家一的最优混合策略：

0 2 1 -1
3 4 0 -5 
-1 3 0 2 
-1 -1 2 1

我建立了如下最大化模型：
max v
约束条件：

• 3p₁ - p₃ - 2p₄ ≤ v
• 2p₁ + 4p₂ + 3p₃ - p₄ ≤ v
• p₁ + 2p₄ ≤ v
• -p₁ -5p₂ +2p₃ + p₄ ≤ v（注：原表述中p4n应为笔误，修正为p4）
  其中 pᵢ < 0

我曾用以下Matlab代码求解最大化问题，但不知道怎么调整代码来适配这个以v为目标函数的优化问题：

% max 6x - y s.t.
% 4y - x >= 10
% 2x + y <= 10
% 2y - x <=  5

f = -[6;-1];          % objective function
A = [1 -4; 2 1; -1 2];    % constraint matrix
b = [-10 10 5];           % constraing rhs
Aeq = [];               % no equality constraints here
beq = [];               % no equality constraints here
lb = [];    
ub = [];

%% call linprog
optimum = linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub)

Matlab的linprog函数默认求解最小化问题，因此需要将原最大化问题max v转换为等价的min -v，同时把所有变量（p₁,p₂,p₃,p₄,v）整合到优化变量中，整理约束条件为标准的Ax ≤ b形式：

% 目标函数：min -v，对应变量顺序[p1; p2; p3; p4; v]
f = [0; 0; 0; 0; -1];  

% 约束矩阵A：前4行是原问题的约束移项，后4行是pᵢ < 0的约束（即pᵢ ≤ 0）
A = [
    3,  0, -1, -2, -1;  % 3p1 - p3 - 2p4 - v ≤ 0
    2,  4,  3, -1, -1;  % 2p1 + 4p2 + 3p3 - p4 - v ≤ 0
    1,  0,  0,  2, -1;  % p1 + 2p4 - v ≤ 0
   -1, -5,  2,  1, -1;  % -p1 -5p2 +2p3 + p4 - v ≤ 0
    1,  0,  0,  0,  0;  % p1 ≤ 0
    0,  1,  0,  0,  0;  % p2 ≤ 0
    0,  0,  1,  0,  0;  % p3 ≤ 0
    0,  0,  0,  1,  0;  % p4 ≤ 0
];

% 约束右侧向量b
b = [0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0];

% 无等式约束
Aeq = [];
beq = [];

% 变量下界：p1-p4无下界（可任意取负数），v无下界
lb = [-inf; -inf; -inf; -inf; -inf];
% 变量上界：p1-p4≤0，v无上界
ub = [0; 0; 0; 0; inf];

% 调用linprog求解
[x, fval] = linprog(f, A, b, Aeq, beq, lb, ub);

% 输出结果
disp('玩家一的最优混合策略（p1,p2,p3,p4）：');
disp(x(1:4));
disp('最优值v：');
disp(-fval);  % 转换回原最大化问题的目标值

关键调整点 #

1. 目标函数转换：原问题是最大化v，linprog默认求最小化，因此目标向量f中v的系数设为-1，其余pᵢ的系数为0，等价于求解min -v。
2. 约束条件整理：将所有原约束移项为Ax ≤ b的形式，同时添加pᵢ ≤ 0的约束到矩阵A中。
3. 变量边界设置：针对pᵢ < 0设置每个p的上界为0、下界为负无穷；v无边界限制。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Georgia Bingham