如何证明：若一阶理论T在扩张下封闭，则可由存在句公理化？

先明确已知条件与目标：

• 已知：一阶理论T在扩张下封闭（若M⊨T，且N是M的扩张，即M⊆N是嵌入，则N⊨T）
• 目标：T可由一组存在句公理化

步骤1：定义核心集合Σ #

设Σ是所有满足T⊨φ的存在句φ的集合（即Σ是T的所有存在句后承）。显然T⊨Σ（Σ中每个句子都是T的逻辑后承），我们只需证明Σ⊨T——即所有满足Σ的模型都满足T，就能说明Σ是T的公理化集合。

步骤2：反证法推导矛盾 #

假设存在模型M满足M⊨Σ但M⊭T，那么必存在ψ∈T，使得M⊨¬ψ。

2.1 公式转化 #

将¬ψ转化为前束范式：¬ψ ≡ ∀x₁...∀xₙθ(x₁,...,xₙ)，其中θ是无量词公式。由M⊨¬ψ可知：对M中任意n个元素a₁,...,aₙ，都有M⊨θ(a₁,...,aₙ)。

2.2 构造辅助理论Γ #

引入语言L' = L ∪ {cₐ | a∈M}，其中cₐ是对应M中每个元素a的新常元（不在原语言L中）。定义理论：
Γ = T ∪ {¬θ(cₐ₁,...,cₐₙ) | a₁,...,aₙ∈M}

2.3 用紧致性定理证明Γ一致 #

假设Γ不一致，则存在有限个M中的n元组(a₁¹,...,a₁ⁿ), ..., (aₖ¹,...,aₖⁿ)，使得：
T ⊨ θ(cₐ₁¹,...,cₐ₁ⁿ) ∧ ... ∧ θ(cₐₖ¹,...,cₐₖⁿ)
由于cₐ是不在T的语言中的新常元，根据一阶逻辑的概括规则，可将常元替换为变量，得到：
T ⊨ ∀x₁...∀xₙθ(x₁,...,xₙ)
即T ⊨ ¬ψ，这与ψ∈T矛盾（T是一致理论，无法同时蕴含ψ和¬ψ）。因此Γ必一致。

2.4 导出矛盾 #

取Γ的一个模型N，则N⊨T，且对任意a₁,...,aₙ∈M，N⊨¬θ(cₐ₁,...,cₐₙ)。

构造M的扩张N'：将N中cₐ的解释替换为a本身，使得M⊆N'是嵌入（即N'是M的扩张）。此时N'≅N，故N'⊨T。

但根据嵌入的定义，无量词公式的真值在M和N'中保持一致：M⊨θ(a₁,...,aₙ)当且仅当N'⊨θ(a₁,...,aₙ)。但我们已得到M⊨θ(a₁,...,aₙ)，而N'⊨¬θ(a₁,...,aₙ)，这与嵌入的性质矛盾。

步骤3：结论 #

假设不成立，即所有满足Σ的模型都满足T，故Σ⊨T。结合T⊨Σ，可知T与Σ等价，即T可由存在句集合Σ公理化。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Tianwei