抛币翻倍价值实验：理论期望无穷大与模拟结果不符的原因探究

假设有一枚初始价值为1美元的硬币，每次抛投时，若落地为正面则价值翻倍，若为反面则价值固定为当前值。请问该硬币的最终期望价值是多少？

我的计算思路如下：

ExpectedValue = 1 * 0.5 + (1 * 2) * (0.5 * 0.5) + (1 * 2 * 2) * (0.5 * 0.5 * 0.5) ...
=0.5 + 0.5 + 0.5 ...
= Infinity

按此计算，期望价值应为无穷大，但通过代码模拟得到的结果却截然不同。

模拟代码如下：

import random

def test(iterations):
    total = 0
    max = 0
    for i in range(iterations):
        coin = False
        val = 1
        while coin == False:
            coin = random.choice([True, False])
            val *= 2
        total += val
        if val > max:
            max = val
    ave = total/iterations
    print(ave)

test(10000000)  # returns 38.736616

我认为10000000次的样本量具有足够的统计显著性，但最终得到的期望价值为38.736616，远非无穷大。请问是我的数学计算有误，还是代码存在问题？

• 你的数学计算完全正确，这是经典的圣彼得堡悖论案例：这个实验的理论期望确实是无穷大。推导过程里每一项都是0.5，无限累加的结果自然趋向无穷。
• 代码模拟也没有问题，但现实中无法完成无限次实验：1000万次样本量看似很大，但极端高价值的结果（比如连续30次正面，对应价值2^{30美元）出现的概率是1/(2}30)≈1e-9，1000万次里几乎不可能碰到；连续20次正面的概率约为1e-6，1000万次里也仅会出现约10次。这些极端值的缺失，导致模拟的均值被限制在有限范围内，永远达不到理论上的无穷大。
• 核心矛盾点：理论期望是基于无限次实验的假设，而任何有限次模拟都无法覆盖那些概率极低但价值极高的结果——正是这些结果才能把均值拉到无穷大。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Samson