如何将车辆避碰约束转为凸约束以解决CVXPY的DCP规则错误？

我用序列凸规划（Sequential Convex Programming, SCP）求解轨迹优化问题，每次迭代需解决QP问题，将车辆间避碰约束线性化为如下形式：

运行CVXPY时抛出DCP规则错误，相关代码片段：

s_cvx = cvx.Variable((11, 12))
u_cvx = cvx.Variable((10, 6))
for k in range(N):
  if k>0:
          dist_linear = cvx.norm(agent_i_q-agent_j_q,2) + \
                      (agent_i_q-agent_j_q/cvx.norm(agent_i_q-agent_j_q,2)) @ (s_try[1,0:3]-s_try[1,6:9])
          constraints += [dist_linear >= 0.5]
......

其中(s_cvx[k,0:3]-s_cvx[k,6:9])表示两车当前位置差，agent_i_q,agent_j_q为上一次迭代的车辆位置。具体错误信息：

DCPError: Problem does not follow DCP rules. Specifically:
The following constraints are not DCP:
0.5 <= Pnorm(var1216896[0, 0:3] + -var1216896[0, 6:9], 2) + (var1216896[0, 0:3] + -var1216896[0, 6:9] / Promote(Pnorm(var1216896[0, 0:3] + -var1216896[0, 6:9], 2), (3,))) @ (var1216795[1, 0:3] + -var1216795[1, 6:9]) , because the following subexpressions are not:
|--  var1216896[0, 6:9] / Promote(Pnorm(var1216896[0, 0:3] + -var1216896[0, 6:9], 2), (3,))
0.5 <= Pnorm(var1216896[1, 0:3] + -var1216896[1, 6:9], 2) + (var1216896[1, 0:3] + -var1216896[1, 6:9] / Promote(Pnorm(var1216896[1, 0:3] + -var1216896[1, 6:9], 2), (3,))) @ (var1216795[1, 0:3] + -var1216795[1, 6:9]) , because the following subexpressions are not:
|--  var1216896[1, 6:9] / Promote(Pnorm(var1216896[1, 0:3] + -var1216896[1, 6:9], 2), (3,))
......

解决建议 #

• 核心问题：代码错误地将当前迭代的CVXPY变量用于构建单位向量，违反了DCP规则。变量的2范数作为分母、向量除以自身范数的操作都是非线性的，不符合DCP对凸/凹性的要求。

• 修正线性化逻辑：SCP的线性化必须基于上一次迭代的固定值，而非当前变量。正确实现如下：

  import numpy as np
  import cvxpy as cvx
  
  s_cvx = cvx.Variable((11, 12))
  u_cvx = cvx.Variable((10, 6))
  # 用上一次迭代的位置计算固定的位置差、范数和单位向量
  delta_q_prev = agent_i_q - agent_j_q
  norm_delta_q_prev = np.linalg.norm(delta_q_prev, 2)
  # 处理范数接近0的边界情况，避免除以0
  if norm_delta_q_prev < 1e-6:
      unit_vec = np.array([1.0, 0.0, 0.0])  # 自定义默认单位向量
  else:
      unit_vec = delta_q_prev / norm_delta_q_prev
  
  for k in range(N):
      if k > 0:
          # 当前迭代的位置差变量
          delta_q_curr = s_cvx[k, 0:3] - s_cvx[k, 6:9]
          # 线性化距离约束：上一次距离 + 单位向量点乘当前位置差增量 >= 安全距离
          dist_linear = norm_delta_q_prev + unit_vec @ delta_q_curr
          constraints += [dist_linear >= 0.5]
  

• 关键注意点：

  • agent_i_q和agent_j_q必须是上一次迭代得到的数值型数组（如numpy数组），不能是CVXPY变量。
  • 必须处理norm_delta_q_prev接近0的情况，防止除以0错误，此时可直接添加强约束强制两车分离，或设置默认单位向量。
  • 修正后的约束是仿射函数 >= 常数，完全符合DCP规则，CVXPY可以正常处理。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Randy Chen