已知向量投射点，求反向向量与原线段ab的交点方法

假设已知：

• 线段ab的端点坐标：A(x₁,y₁)、B(x₂,y₂)
• 黑点的坐标：P(pₓ,pᵧ)
• 投射向量n的分量：(nₓ,nᵧ)，反向投射向量为(-nₓ,-nᵧ)

1. 写出反向投射的直线方程 #

过黑点P、沿反向向量-n的直线可以用参数方程表示：
(x, y) = (pₓ - t·nₓ, pᵧ - t·nᵧ)，其中t为非负参数

2. 联立线段ab的方程求解交点 #

线段ab的参数方程为：
(x, y) = (x₁ + s·(x₂-x₁), y₁ + s·(y₂-y₁))，其中参数s的取值范围是0 ≤ s ≤ 1

将两个参数方程联立，得到方程组：

pₓ - t·nₓ = x₁ + s·(x₂ - x₁)
pᵧ - t·nᵧ = y₁ + s·(y₂ - y₁)

解这个二元一次方程组，算出参数t和s：

• 若s在[0,1]区间内，代入线段ab的参数方程，得到的坐标就是所求的交点
• 若s不在这个区间，说明反向投射直线与线段ab无交点（根据投射的定义，正常情况下应该存在交点，若出现此情况需检查投射过程的误差）

内容的提问来源于stack exchange，提问作者austinp