如何从numpy/matplotlib生成的微分方程解曲线中获取函数表达式？

我通过scipy.integrate.odeint求解微分方程并绘制了曲线，代码如下：

import numpy as np
from scipy.integrate import odeint
import matplotlib.pyplot as plt

def model(y,t):
    dydt= 0.6*(2.11-y)-1.17*(4.767-4.767*np.exp(-1.4*y))
    return dydt

y0=0

t = np.linspace(0,10)

y = odeint(model,y0,t)

plt.plot(t,y)
plt.xlabel("t")
plt.ylabel("S")
plt.show()

我需要获取这条曲线对应的函数/方程，多次搜索未找到解答，求可行方法。

首先明确你的微分方程形式（已化简系数）：
$$\frac{dy}{dt} = 0.6(2.11 - y) - 5.57739(1 - e^{-1.4y})$$

针对获取曲线对应函数的需求，有三种可行方向：

1. 尝试推导解析解（符号积分） #

这类非线性微分方程不一定存在初等函数形式的解析解，但可以用符号计算工具尝试推导：
使用SymPy库进行符号求解，示例代码：

import sympy as sp

t = sp.symbols('t')
y = sp.Function('y')(t)

# 定义微分方程
dydt = 0.6*(2.11 - y) - 1.17*4.767*(1 - sp.exp(-1.4*y))
eq = sp.Eq(y.diff(t), dydt)

# 求解并输出结果
solution = sp.dsolve(eq, y)
print(solution)

如果SymPy返回初等函数形式的解，那就是你要的函数；如果返回特殊函数形式或提示无法求解，说明该方程没有初等解析解。

2. 对数值解进行函数拟合 #

若无法得到解析解，可通过拟合逼近数值曲线：
选择匹配曲线形态的函数形式，用scipy.optimize.curve_fit完成拟合，示例代码：

import numpy as np
from scipy.optimize import curve_fit
import matplotlib.pyplot as plt

# 自定义拟合函数（示例：双指数形式，适配单调收敛曲线）
def fit_func(t, a, b, c):
    return a*(1 - np.exp(-b*t)) + c*np.exp(-1.4*t)

# 执行拟合
params, _ = curve_fit(fit_func, t, y.ravel())

# 生成拟合曲线并对比
y_fit = fit_func(t, *params)
plt.plot(t, y, label='数值解')
plt.plot(t, y_fit, '--', label='拟合曲线')
plt.xlabel('t')
plt.ylabel('S')
plt.legend()
plt.show()

# 输出拟合后的函数表达式
print(f"拟合函数：y(t) = {params[0]:.4f}(1 - exp(-{params[1]:.4f}t)) + {params[2]:.4f}exp(-1.4t)")

注意：拟合函数的形式需要匹配你的曲线特征——比如曲线趋近于稳态值时，单/双指数组合是常用选择；若有波动则需调整函数形式。

3. 获取隐式解或特殊函数解 #

如果方程存在隐式解（即无法直接解出$y(t)$，但能得到$t$与$y$的关系式），SymPy的dsolve可能返回这类结果。你可以基于该关系式，通过数值方法反解任意$t$对应的$y$值，或者将其转化为可计算的形式。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Malelizarazo