如何判断给定边长的三角形的三条高能否构成新三角形？

云原生阿岚

2026-8-12

问题分析与优化方案

首先明确核心逻辑：设三角形三边为a,b,c，对应高为h_a,h_b,h_c。由面积相等可得h_a=2S/a、h_b=2S/b、h_c=2S/c（S为三角形面积）。要判断三条高能构成三角形，需满足任意两边之和大于第三边，代入高的表达式后可转化为纯整数运算条件，彻底避免浮点精度误差。

关键转化推导

将高的三边关系：

h_a + h_b > h_c
h_a + h_c > h_b
h_b + h_c > h_a

代入h=2S/边长，两边同时除以2S（正数，不改变不等号方向），得到：

1/a + 1/b > 1/c
1/a + 1/c > 1/b
1/b + 1/c > 1/a

进一步交叉相乘（均为正数，不等号方向不变），转化为整数运算：

c*(a+b) > a*b
b*(a+c) > a*c
a*(b+c) > b*c

额外前提判断

输入的a,b,c必须首先是合法的三角形三边，即满足：

a+b > c
a+c > b
b+c > a
否则三条高不存在，直接返回不能构成三角形。

优化后的C++代码

#include <iostream>
using namespace std;

int main() {
    long long a, b, c;
    cin >> a >> b >> c;
    
    // 先验证原三边是否为合法三角形
    if (a + b <= c || a + c <= b || b + c <= a) {
        cout << "NO" << endl;
        return 0;
    }
    
    // 判断高能否构成三角形的整数运算条件
    bool cond1 = c * (a + b) > a * b;
    bool cond2 = b * (a + c) > a * c;
    bool cond3 = a * (b + c) > b * c;
    
    cout << (cond1 && cond2 && cond3 ? "YES" : "NO") << endl;
    return 0;
}