如何将MATLAB代码中的inv()替换为反斜杠运算符并简化？

能否有人协助我将以下MATLAB代码转换为使用反斜杠运算符，替代当前使用的inv()函数：

n = 6; m = 18;
R = diag( rand(1,n) );
A = rand(m,n);
b = rand(m,1);

X = inv(R) * A' * inv(A * inv(R) * A') * b;

（我知晓此示例中结果可能存在数学奇异性，因我仅创建随机矩阵展示各矩阵维度。我仅需转换为反斜杠用法的合适语法，甚至可对其简化。）

补充说明
这段代码源自求解二次规划问题的拉格朗日条件，消去λ后整理得到对应的表达式。

MATLAB中反斜杠运算符\和斜杠/是求解线性方程组的高效方式，比inv()数值稳定性更好、计算效率更高，对应替换逻辑如下：

• inv(M) * x 等价于 M \ x（本质是求解线性方程组M*y=x得到y）
• x * inv(M) 等价于 x / M（本质是求解线性方程组y*M=x得到y）

针对你的代码，我们可以逐步替换inv()：

1. inv(R)*A' 等价于 R \ A'（因为R是对角矩阵，该运算会高效地对A'的每一行除以R的对应对角元素）
2. inv(A*inv(R)*A')*b 等价于 (A*(R \ A')) \ b（先计算A*inv(R)*A'的等价形式，再用反斜杠求解对应的线性方程组）

最终转换后的代码为：

n = 6; m = 18;
R = diag( rand(1,n) );
A = rand(m,n);
b = rand(m,1);

% 用反斜杠替换inv()的版本
X = (R \ A') * ((A * (R \ A')) \ b);

额外优化建议 #

由于R是对角矩阵，我们还可以进一步简化计算：先取出R的对角元素，用点运算实现R^{-1}的效果，再结合反斜杠，计算效率会更高：

r_diag = diag(R);
% 等价于 inv(R)*A'，点运算更适配对角矩阵特性
A_Rinv = A' ./ r_diag;
% 求解 (A*A_Rinv)y = b，再计算X = A_Rinv*y
X = A_Rinv * ((A * A_Rinv) \ b);

内容的提问来源于stack exchange，提问作者teeeeee