关于numpy.linalg.eig()与eigh()对同一厄米特矩阵返回不同特征向量的疑问（原系误解）

注：本问题源于一处误解，详见下方分析。

用户发现numpy.linalg模块的eig()与eigh()函数针对同一个厄米特矩阵返回的特征向量似乎不同，复现代码如下：

import numpy as np

H = [[0.6 , -1j, 0], [1j, 0.4, 0], [0, 0, -1]]

evals, evects = np.linalg.eig(H)
print('\nOutput of the eig function')
for i in range(0,3):
    print('evect for eval=',evals[i],'\n',evects[i,0],'\n',evects[i][1],'\n',evects[i][2])
    
evals, evects = np.linalg.eigh(H)
print('\nOutput of the eigh function')
for i in range(0,3):
    print('evect for eval=',evals[i],'\n',evects[i,0],'\n',evects[i][1],'\n',evects[i][2])

问题根源 #

代码的核心错误是错误读取了特征向量的存储维度：

• numpy的eig()和eigh()函数返回的特征向量矩阵中，每一列对应一个特征向量，而非每一行。原代码按行索引（evects[i,0]、evects[i][1]等）读取，相当于把特征向量矩阵的行当成了特征向量，自然得到错误的结果。
• 此外，eigh()会自动将厄米特矩阵的特征值按从小到大排序，而eig()的特征值顺序是未排序的，这进一步加剧了两者输出的视觉差异。

修正后的验证代码 #

import numpy as np

H = [[0.6 , -1j, 0], [1j, 0.4, 0], [0, 0, -1]]

# 正确读取eig的特征向量（列向量）
evals_eig, evects_eig = np.linalg.eig(H)
print('\neig函数输出（正确读取特征向量）：')
for i in range(3):
    print(f'特征值 {evals_eig[i]} 对应的特征向量：')
    print(evects_eig[:, i])

# 正确读取eigh的特征向量（列向量）
evals_eigh, evects_eigh = np.linalg.eigh(H)
print('\neigh函数输出（正确读取特征向量）：')
for i in range(3):
    print(f'特征值 {evals_eigh[i]} 对应的特征向量：')
    print(evects_eigh[:, i])

补充说明 #

对于厄米特矩阵，eig()和eigh()返回的特征向量本质是等价的：

• 两者的特征向量可能存在全局相位差异（复数向量乘以模为1的复数后，依然是原矩阵的特征向量），这是数值计算中的正常现象。
• eigh()专门针对厄米特/对称矩阵优化，计算效率更高且数值稳定性更好，建议优先使用。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Billy Gatto