裁剪空间与屏幕空间中三角形重心坐标的关联及插值方法

要正确计算屏幕空间中的插值重心坐标，核心是利用透视校正插值的倒数w值特性——因为透视投影会导致线性插值在屏幕空间产生失真，必须基于顶点的齐次w分量的倒数来校正重心坐标的插值过程。

关键前提回顾 #

裁剪空间顶点以齐次坐标表示：$PC_i = (x_{ci}, y_{ci}, z_{ci}, w_{ci})$，经过透视除法得到NDC坐标：

(x_ni, y_ni, z_ni) = (x_ci/w_ci, y_ci/w_ci, z_ci/w_ci)

屏幕空间坐标则是将NDC的x/y映射到屏幕分辨率、保留深度值后的结果。

具体计算步骤 #

假设裁剪空间三角形的三个顶点对应原始重心坐标：

• PC0 → $(1, 0, 0)$
• PC1 → $(0, 1, 0)$
• PC2 → $(0, 0, 1)$

1. 预计算顶点的倒数w值
   对每个裁剪空间顶点计算：

   w0_inv = 1.0 / PC0.w
   w1_inv = 1.0 / PC1.w
   w2_inv = 1.0 / PC2.w
   

2. 线性插值校正分量
   对于三角形内任意点，先基于裁剪空间的线性关系得到临时重心分量$(\alpha, \beta, \gamma)$（满足$\alpha+\beta+\gamma=1$），然后计算两个插值结果：

   • 插值后的倒数w总和：

     w_inv_interp = α * w0_inv + β * w1_inv + γ * w2_inv
     

   • 分别插值每个重心分量与对应顶点倒数w的乘积：

     alpha_corrected = α * w0_inv
     beta_corrected = β * w1_inv
     gamma_corrected = γ * w2_inv
     

3. 计算屏幕空间的最终重心坐标
   将校正后的分量除以插值得到的倒数w总和，得到满足$\alpha_s+\beta_s+\gamma_s=1$的屏幕空间重心坐标：

   alpha_screen = alpha_corrected / w_inv_interp
   beta_screen = beta_corrected / w_inv_interp
   gamma_screen = gamma_corrected / w_inv_interp
   

特殊情况验证（顶点本身） #

对于题目给出的三个顶点：

• 以PC0为例，$\alpha=1, \beta=0, \gamma=0$，代入得：

  w_inv_interp = w0_inv
  alpha_screen = (1*w0_inv)/w0_inv = 1
  beta_screen = 0 / w0_inv = 0
  gamma_screen = 0 / w0_inv = 0
  

  结果与原始重心坐标一致，符合预期——顶点的重心坐标在屏幕空间不会因透视变换改变。

实现要点 #

• 光栅化阶段通常会由GPU自动完成w_inv和校正分量的线性插值，片元阶段只需执行最终的除法计算。
• 需确保裁剪空间顶点的w值不为0，否则会触发无效的透视除法（这类顶点会被裁剪流程过滤）。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Mirocos