如何在Eigen库中为接近奇异的3*3矩阵设置容差求解核（零空间）

你需要处理一个3×3的矩阵：它数学上是满秩3，但数值上非常接近奇异（秩趋近于2），必须通过设置容差才能找到对应的零空间。在Scilab中你已经实现了这个需求：

--> Rx_1  = 

  -0.000004    0.0000376  -0.0000261
  -0.0000017  -0.459682    0.84146  
   0.0000458  -0.841457   -0.459684 


--> kernel(Rx_1)  ans  =

    []         <--- 无精确零空间


--> kernel(Rx_1, 0.0001)  ans  =    <--- 0.0001为设置的容差

   1.
   0.0000411        <--- 通过容差找到的零空间基。
   0.0000244

但在Eigen中使用FullPivLU时，你不清楚如何引入容差参数：

FullPivLU<MatrixXd> lu(Rx_1);        <--- lu无法接收额外参数
MatrixXd A_null_space = lu.kernel();

解决方案 #

Eigen的FullPivLU类提供了setThreshold()方法来设置容差，以此判断哪些奇异值可以被视为0，从而确定矩阵的有效秩，进而计算出对应的零空间。具体代码实现如下：

#include <Eigen/Dense>
using namespace Eigen;

int main() {
    MatrixXd Rx_1(3,3);
    Rx_1 << -0.000004,    0.0000376,  -0.0000261,
            -0.0000017,  -0.459682,    0.84146,  
             0.0000458,  -0.841457,   -0.459684;

    FullPivLU<MatrixXd> lu(Rx_1);
    lu.setThreshold(1e-4); // 设置容差为0.0001，和Scilab中使用的参数一致
    MatrixXd A_null_space = lu.kernel();

    // 输出零空间基
    std::cout << "零空间基：\n" << A_null_space << std::endl;
    return 0;
}

原理说明 #

• setThreshold()方法会修改FullPivLU内部判断奇异值是否为0的阈值，当奇异值小于等于该阈值时，会被视为0，矩阵的有效秩会相应降低。
• 调用kernel()时，会基于调整后的有效秩计算零空间，结果和Scilab中带容差的kernel函数逻辑一致，能够得到数值意义下的近似零空间基。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Xirdal